Si [matemática] a, b, c \ en R [/ matemática] y [matemática] a + b + c = \ pi [/ matemática], encuentre el valor mínimo de [matemática] \ sin {a} [/ matemática] [matemáticas] + \ sin {b} + \ sin {c} [/ matemáticas] sin usar cálculo?

Answer 1

Estoy suponiendo [matemáticas] \ pi [/ matemáticas] [matemáticas]> x, y, z [/ matemáticas] [matemáticas]> 0 [/ matemáticas].

Dibuja la curva sinusoidal.

Tome 3 puntos [matemática] A, B, C [/ matemática] que tengan coordenadas [matemática] (x, sin (x)); (y, sin (y)); (z, sin (z)) [ /matemáticas].

Las coordenadas de su centroide serán [matemáticas] ([/ matemáticas] [matemáticas] \ frac {x + y + z} {3}, \ frac {sin (x) + sin (y) + sin (z) } {3}) [/ matemáticas].

Observe que el centroide se ubicará debajo de la curva sinusoidal, y el punto directamente sobre el centroide, que se encuentra en la curva sinusoidal, tendrá coordenadas [matemáticas] (\ frac {x + y + z} {3}, sin (\ frac {x + y + z} {3})) [/ math].

Como se encuentra sobre el centroide, la ordenada de este punto será mayor que la ordenada del centroide.

[matemática] \ Rightarrow \ frac {\ sin x + \ sin y + \ sin z} {3} \ leq \ sin \ left (\ frac {x + y + z} {3} \ right) [/ math]

Pero, [matemáticas] x + y + z = \ pi [/ matemáticas].

[math] \ Rightarrow \ sin x + \ sin y + \ sin z \ leq 3 \ cdot \ sin \ frac {\ pi} {3} [/ math]

[math] \ Rightarrow \ sin x + \ sin y + \ sin z \ leq \ frac {3 \ sqrt {3}} {2} [/ math].

QED

Puede aplicarse a todos los números reales, pero no estoy seguro …

Answer 2

La única condición que ha proporcionado es que a, b, c ∈ R, y no que sean los ángulos de un triángulo. Al principio, comencé a resolver asumiendo a, b, c como los ángulos de un triángulo, pero luego me di cuenta de que la pregunta es hacer otra cosa.

Echa un vistazo a la función seno, y = sinx,

El valor mínimo de sin (x); x, siendo un número real, es ‘-1’.

Entonces, el valor mínimo de sina + sinb + sinc es -3, sin ninguna restricción. Pero tenemos, a + b + c = π.

Entonces, probamos si podemos obtener ‘-2’.

Mediante una fácil inspección de la gráfica, podemos obtener sina + sinb + sinc = -2, sustituyendo a = 3π / 2, b = 0, c = -π / 2; de manera cíclica.

Por lo tanto, la expresión obtendrá su valor mínimo cuando a = nπ / 2, b = 0, c = (2-n) π / 2, donde n ∈ (N impar), el conjunto de números naturales impares.

Aunque no es la forma convencional de resolver un problema matemático, es una buena pregunta que invita a la reflexión, ya que tiene muchos métodos diferentes para llegar a la solución.

Si a, b, c fueran ángulos de un triángulo, podríamos simplemente haber usado la desigualdad AM-GM para obtener el valor mínimo de sina + sinb + sinc, que es [3∛ (3√3)] / 2.

Answer 3

Teniendo en cuenta que todos los a, byc son positivos, no.

Sina + Sin b + Sinc = Sin a + Sinb + Sin (Pi – (ab)) = Sin a + Sinb – sin a Cos b – sin b Cos a = sin a (1- Cos b) + sin b (1- Cos a),

Ahora 1- cos by 1- cos a igual a cero cuando Cos a y Cos b es 1, entonces la expresión deducida será Cero y el valor mínimo será cero. O si a = b = 0, entonces el valor mínimo es 0.

Answer 4

Intentemos un enfoque lógico. Tenga en cuenta que no tenemos ninguna restricción sobre la elección del valor de a, byc, excepto que su suma es Pi.

El valor mínimo que puede alcanzar la función seno es -1. entonces arreglaremos el valor de a -pi / 2.

Ahora tenemos que minimizar la función sin (b) + sin (c).

Sabemos que la función seno es negativa en el tercer y cuarto cuadrante.

Por lo tanto, elegiremos los valores de byc de modo que ambos sumen 3 * pi / 2 (porque a + b + c = pi y ya hemos elegido un as como -pi / 2) y ambos se encuentran en tercer y cuarto cuadrantes.

Hay varias combinaciones que podemos hacer, pero la función producirá un valor mínimo solo cuando los valores negativos correspondientes a sin (b) y Sin (c) son iguales.

no podemos elegir sin (b) = – 1 porque si lo hacemos obtendremos sin (c) como cero donde c es 2 * pi.

Pero podemos elegir un valor sorprendente de b donde b = (- pi * / 4).

De este modo obtenemos c = (7 * pi / 4) donde sin (b) = Sin (c) = – (1 / Sqrt (2))

Por lo tanto, según el valor mínimo de la función es (- (1+ (Sqrt (2)))) = -2.4142

Answer 5

3π / 2 + (-π / 2) + 0 = π

El seno de estos valores es -1, -1,0 y el total es -2.

Pero no sé cómo confirmar que este es el menor valor.