¿Cuál es el producto de todos los factores de [matemáticas] 3 ^ {2017} [/ matemáticas]?

Answer 1

Considere cualquier número natural [matemáticas] n. [/ Matemáticas]

Deje que [math] a [/ math] sea cualquier factor de [math] n [/ math].

Entonces, [math] \ dfrac {n} {a} [/ math] debe ser un número entero. Deje que esto sea igual a [math] b [/ math].

Por lo tanto,

[matemáticas] ab = n \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

Ahora, para cualquier factor de [math] n [/ math] podemos encontrar otro factor único, de modo que se multipliquen para dar [math] n [/ math].

Entonces, si [math] \ alpha_1, \ alpha_2 \ ldots \ alpha_k [/ math] son ​​todos sus factores donde [math] k [/ math] es el número de factores, entonces podemos dividirlos en grupos de [math] 2 [/ math] cada uno de los cuales se multiplica para dar [math] n [/ math].

Hay [math] \ dfrac {k} {2} [/ math] tales grupos.

Por lo tanto, el producto es,

[matemáticas] \ alpha_1 \ alpha_2 \ ldots \ alpha_k \ tag * {} [/ matemáticas]

[math] = \ overbrace {n \ cdot n \ cdot n \ cdot n \ ldots} ^ {\ frac {k} {2} \ text {times}} \ tag * {} [/ math]

[math] = \ boxed {n ^ {\ frac {k} {2}}} \ tag * {} [/ math]

Editar: me di cuenta más tarde de que debería considerar el caso cuando el número de factores es impar, pero esa es la naturaleza de generalización de las matemáticas.

El número de factores es impar si y solo si el número es un cuadrado perfecto. Entonces, la raíz cuadrada del número no tiene un factor correspondiente que se multiplica con él para dar [matemáticas] n [/ matemáticas].

Entonces, el producto es el producto de todos los demás factores, [matemática] n ^ {\ frac {k-1} {2}} [/ matemática] multiplicada por la raíz cuadrada de n, [matemática] n ^ {\ frac { 1} {2}} [/ math] y, por lo tanto, también es igual a [math] n ^ {\ frac {k} {2}}. [/ Math]

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[matemáticas] 3 ^ {2017} [/ matemáticas] tiene [matemáticas] (2017 + 1) = 2018 [/ matemáticas] factores.

El producto es

[matemáticas] P = (3 ^ {2017}) ^ {\ frac {2018} {2}} \ tag * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] = 3 ^ {2017 \ veces 1009} \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] = 3 ^ {2035153} \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

Answer 2

Producto de factores de cualquier número número natural x = [matemáticas] x ^ {\ frac {n} {2}} [/ matemáticas], donde ‘n’ es el número total de factores. (Válido para ambos casos, es decir, n puede ser par o impar)

No total de factores de [math] 3 ^ {2017} [/ math] es [math] 2018 [/ math] (¿Cómo? – Vea mi otra respuesta para una explicación detallada: ¿Cuál es el producto de los factores de 18 ^ 3?).

Entonces, su respuesta es [matemáticas] (3 ^ {2017}) ^ {\ frac {2018} {2}} [/ matemáticas] es decir [matemáticas] 3 ^ {2035153} [/ matemáticas].

EDITAR: Como lo señaló el Usuario-11998104109482946397, se puede resolver fácilmente de forma lógica, como la única potencia de un único número primo. es dado. Pero he mostrado un método general para encontrar el producto de todos los factores de cualquier número.

Answer 3

Te has encontrado con una pregunta que parece difícil pero que en realidad no lo es. Vamos a ver.

Podemos escribir 3 ^ 2017 como

3 ^ 2017 = 1 × 3 × 3 × 3 ×… × 3 (2017 veces)

Si tomamos 3 en un grupo de sucesivos números enteros. obtendremos factores como

1,3,3 ^ 2,3 ^ 3,…, 3 ^ 2017

Por lo tanto, el producto de todos los factores es

1 × 3 × (3 ^ 2) × (3 ^ 3) ×… × (3 ^ 2017)

• Usando, (a ^ x) × (a ^ y) = a ^ (X + y)

= 3 ^ (0 + 1 + 2 + 3 +… + 2017)

• Usando, 1 + 2 + 3 +… + n = n (n + 1) / 2
• 1 + 2 + 3 +… + 2017 = 2017 × 2018/2 = 2035153

= 3 ^ 2035153

Answer 4

3 ^ 2035153 es tu respuesta.

Preguntarás por qué.

Es 3 ^ {(0 + 2017) * 2018/2} = su respuesta.