¿Cómo calcularías [math] \ ln (a + bi) [/ math]?

Answer 1

Ahora, para cualquier número complejo [math] \ omega = a + bi [/ math], podemos escribir [math] \ omega [/ math] como, [math] re ^ {i \ theta}. [/ Math] Donde,

[matemáticas] r = \ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2} \ tag * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ theta = \ tan ^ {- 1} \ left (\ dfrac {b} {a} \ right) \ tag * {} [/ math]

Por lo tanto,

[matemáticas] \ begin {align *} z & = \ ln (a + bi) \\ & = \ ln (re ^ {i \ theta}) \\ & = \ ln r + \ ln (e ^ {i \ theta} ) \\ & = \ ln (\ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2}) + i \ theta \\ & = \ frac {1} {2} \ ln (a ^ 2 + b ^ 2) + i \ tan ^ {- 1} \ left (\ dfrac {b} {a} \ right) \ end {align *} \ tag * {} [/ math]

Sin embargo, el logaritmo complejo es una función multivalor.

[matemáticas] \ begin {align *} \ ln z & = \ ln (z \ cdot 1) \\ & = \ ln (z \ cdot e ^ {2k \ pi i} \\ & = \ ln z + 2k \ pi i \ end {align *} \ tag * {} [/ math]

Por lo tanto, aparte del valor principal, se pueden obtener otros valores agregando múltiplos enteros de [math] 2 \ pi i [/ math] al valor principal.

Answer 2

Lo que se requiere es convertir [matemáticas] a + bi [/ matemáticas] en coordenadas polares.

[matemáticas] r = | a + bi | = \ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2} [/ matemáticas]

Asumiremos [math] r> 0 [/ math]; [matemática] \ ln 0 [/ matemática] sigue siendo un no no en números complejos.

[matemáticas] \ theta = \ arg (a + bi) = \ textrm {arctan2} (b /, a) [/ math]

He indicado explícitamente los dos parámetros, la tangente inversa de cuatro cuadrantes. La notación “/” es intencional; delimita los dos argumentos, la barra nos recuerda cuál es cuál. Esto garantiza

[matemáticas] a = r \ cos \ theta [/ matemáticas]

[matemáticas] b = r \ sin \ theta [/ matemáticas]

Además, para manejar la multivalor del registro complejo, multiplicamos por [math] e ^ {2 \ pi ki} = 1 [/ math] para el entero [math] k. [/ Math]

[matemáticas] \ ln (a + bi) [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ ln (r \ cos \ theta + ir \ sin \ theta) [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ ln (re ^ {i \ theta}) [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ ln (e ^ {\ ln r} e ^ {i \ theta} e ^ {2 \ pi ki}) [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ ln (e ^ {\ ln r + i \ theta + 2 \ pi ki}) [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ ln r + i \ theta + 2 \ pi ki [/ matemáticas]

[matemáticas] \ ln (a + bi) = \ ln \ left (\ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2} \ right) + i \ textrm {arctan2} (b /, a) + 2 \ pi ki \ quad [/ math] para entero [math] k [/ math]

Answer 3

Hola,

Parece fácil:

[matemáticas] a + bj = \ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2} \ cdot e ^ {j \ phi} = | \ text {z} | \ cdot e ^ {j \ phi} [/ math]

[matemáticas] \ ln | El | \ text {z} | \ cdot e ^ {j \ phi} | = \ ln || \ text {z} || + j \ phi [/ matemáticas]

Donde [math] \ phi = \ arctan (\ frac {b} {a}) [/ math] suponiendo [math] a, b \ gt 0 [/ math]

[matemáticas] | \ text {z} | \ ne 0 [/ matemáticas]

Answer 4

El valor principal de [math] \ ln (a + ib) [/ math] es

[matemáticas] \ ln (r) + i \ text {Arg} (a + ib) [/ matemáticas]

donde [math] r = \ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2} [/ math] y [math] \ text {Arg} (a + ib) [/ math] es el argumento único de [math] a + ib [/ math] en el rango [math] (- \ pi, \ pi]. [/ math]

Los otros valores de este logaritmo se obtienen sumando múltiplos enteros de [math] 2i \ pi [/ math] a este valor principal.

Ver Complex_logarithm – WikiPedia.

Answer 5

Hola a todos, soy Aayat Janjua. Estoy aquí para proporcionarle la solución de sus problemas matemáticos que contiene problemas diferenciales, problemas integrales, problemas topológicos, álgebra, problemas de números complejos, etc. Lo que necesite, le proporcionaré fotos de problemas escritos a mano o en power point. Te ayudaré en tus proyectos y tareas matemáticas. Siempre te estaré muy agradecido.

Answer 6

Cambie a + ib para re ^ iθ, r = √ (a² + b²), θ = arctan (b / ~ a)

Entonces, ㏑re ^ (iθ) = ㏑r + (iθ)