Si la serie de Fourier se trata de representar funciones periódicas en términos de [matemática] \ sin [/ matemática] y [matemática] \ cos [/ matemática], ¿cómo hay una serie de Fourier para [matemática] x [/ matemática]?

Answer 1

Si la serie de Fourier se trata de representar funciones periódicas en términos de [math] \ text {sin} [/ math] y [math] \ text {cos} [/ math] , ¿cómo hay una serie de Fourier para [math] x [/ matemáticas]

• No ha especificado el dominio de [math] f (x) = x [/ math]. Si el dominio de [math] f [/ math] es un subconjunto de un dominio de otra función periódica [math] g [/ math] y [math] f = g [/ math] en este dominio, entonces una serie de Fourier para [math] g [/ math] es una representación completamente válida de [math] f (x) = x [/ math] dentro de este dominio. Ver la onda de diente de sierra, por ejemplo.
• En relación con el punto anterior, las funciones [math] \ text {sin} [/ math] y [math] \ text {cos} [/ math] tienen varias manipulaciones disponibles:
• Amplitud
• Cambio de fase
• Periodo / frecuencia
• Compensar

  Con un dominio finito arbitrariamente grande, el período / frecuencia, especialmente, puede manipularse de manera arbitrariamente grande para aproximarse estrechamente a funciones no periódicas limitadas por el mismo dominio.

Answer 2

No hay series de Fourier para tales funciones. Solo puede tener series de Fourier para sus extensiones periódicas; puede definir la función [math] f (x) = x [/ math] durante un intervalo finito después del cual se repetirá. Aunque esta nueva función tendrá discontinuidades, será periódica y, por lo tanto, su representación en serie de Fourier existirá.

Answer 3

Trataría de responder esta pregunta desde el punto de vista del análisis, lo que le daría más información sobre la serie de Fourier. Diría que si tenemos un espacio H de Hilbert (puedes buscarlo en Google si quieres los conceptos básicos de los espacios de Hilbert) y un subespacio cerrado G de H que tiene [matemáticas] {e_1, e_2, e_3 ….} [/ Matemáticas] como su sistema ortonormal máximo, entonces decimos que para cualquier función en H tenemos una mejor aproximación única dada por la serie de Fourier de f, que básicamente resulta ser

[matemáticas] \ sum_ {i = 1} ^ {inf} (f, e_i) e_i [/ ​​matemáticas]

y el espacio de funciones que tomamos en consideración es el espacio de funciones de Legendre denotado por mayúsculas [matemáticas] L ^ 2 [/ matemáticas], cuyo sistema ortonormal máximo consiste en senos y cosenos. Por lo tanto, nos encontramos con la serie de Fourier como funciones representativas en términos de senos y cosenos. Entonces, así como cualquier función puede proyectarse sobre su base ortonormal, también puede proyectarse como una serie de Fourier.

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