Hay algunas opciones realmente buenas en álgebra y teoría de números. Aunque existe una gran cantidad de tecnología matemática moderna para simplificar masivamente las pruebas de algunas de estas cosas, todavía puede encontrar pruebas traducidas y actualizadas por algunos de los grandes (por ejemplo, Gauss).
La ventaja de hacer algo como esto es que no requiere mucho conocimiento de las matemáticas avanzadas o modernas, solo determinación y un bolígrafo, y también puede ver el trabajo real y los procesos de pensamiento de algunos de los gigantes en su campo.
Mi favorito personal sería algo así como estudiar cuando los polinomios factorizan sobre los racionales usando técnicas elementales. Si tiene suficiente tiempo / energía / interés, puede incluso recoger una pequeña teoría de grupo y comenzar a pensar en lo que sucede cuando agrega raíces de polinomios.
Esto puede darle una idea real de la forma en que se han desarrollado las matemáticas y por qué elegimos estudiar mucha de la teoría que hacemos. También es realmente interesante (bueno, me parece interesante) al tiempo que minimiza la cantidad de cosas que necesita aprender antes de comenzar a pensar en estos problemas.