¿Qué se requiere para comenzar a aprender Cálculo?

Answer 1

Una comprensión firme del álgebra y geometría de la escuela intermedia / secundaria; familiaridad con varios tipos de números (como objetos matemáticos: naturales, enteros, racionales, irracionales) y un deseo y voluntad (como ha demostrado) de salir de la zona de confort y aprender algo nuevo.

Sugeriría que comience con un concepto de límite tal como se aplica a las secuencias numéricas. Puede ser tentador saltar a los límites de las funciones de inmediato, pero es prudente esperar un poco. Observe que una vez que se sienta cómodo con la idea del límite anterior, ya podrá lograr muchos resultados interesantes. Para prepararse para la integración, por ejemplo, puede seguir estos ejercicios y probarse a sí mismo que sin los métodos formales de integración y con nada más que un límite de secuencia numérica y un poco de álgebra y geometría básicas, puede:

Calcule la magnitud del área cuadrada atrapada debajo / dentro del gráfico de a / an: línea recta, parábola, raíz cuadrada, elipse y seno

Calcule los volúmenes de los siguientes sólidos: cilindros, conos, esfera, elipsoide, anillo toro, paraboloides, hiperboloides de una y dos láminas, casco y Steinmetz

Una de las ideas básicas que aprenderá en estos ejemplos es cómo dividir un problema grande en varios más pequeños y más simples, cómo resolver estos problemas más pequeños y cómo combinar las soluciones obtenidas de los problemas más pequeños en la solución del problema original. . Aquí hay una imagen de cómo intentaríamos calcular el volumen de un elipsoide:

Vemos que el volumen del todo (el elipsoide) se aproxima con un volumen de una parte primitiva (un cilindro circular derecho) cuyo volumen sí sabemos cómo calcular …

Una vez que haya aceptado la idea de un límite de una secuencia numérica, puede asumir el límite de una función, seguido de los métodos formales de diferenciación e integración. Buena suerte.

Answer 2

Realmente todo lo que se requiere para aprender cálculo es álgebra. De hecho, una vez que pase la geometría de la escuela secundaria, cada materia de matemáticas que probablemente tomará será muy pesada en álgebra. Eso también sucede en física. Hice mucho procesamiento de señal, que es principalmente álgebra también. Quizás en cursos posteriores de pregrado y posgrado en matemáticas la dependencia del álgebra disminuye, pero nunca llegué tan lejos, siendo también un científico de la computación.

El patrón habitual es que hay algún conocimiento específico del curso, como cómo tomar la derivada de alguna expresión, luego es un montón de álgebra para llegar a la respuesta final. Por lo tanto, les recomendaría a usted y a todos los estudiantes que practiquen y que realmente se vuelvan buenos en álgebra si desean tomar cursos de matemáticas en el futuro.

A menudo, la trigonometría se enumera como un requisito previo para el cálculo. La razón es que una vez que el alumno se familiariza con funciones como seno y coseno y el resto, se pueden usar en ejemplos de cálculo. Mi opinión personal es que esto es un error, pero no voy a cambiar el currículo por sí solo, por lo que probablemente necesite aprender algo de trigonometría para manejar un curso de cálculo típico. Curiosamente, es la parte de trigonometría que tiene muy poco que ver con la medición de triángulos.

No tengo muchos consejos que te dirijan a recursos; hay cursos de Khan y MIT y muchas otras cosas buenas por ahí, estoy seguro.

En cuanto a mis propios escritos, escribí algo sobre cómo hacer un cálculo bastante avanzado usando solo las matemáticas de la escuela intermedia aquí y sobre cómo derivar la parte de la trigonometría que necesitas para el cálculo únicamente a partir de la fórmula de Euler que comienza aquí. Yo caracterizaría a ambos como fuera del plan de estudios normal.

Answer 3

Las funciones principales (quizás llamadas “canónicas”) que estudias hasta este momento son:

• Lineal (y = mx + b) y todos los demás polinomios (por ejemplo, [matemática] -2x ^ 5 + \ pi x ^ 2 – \ sqrt {2} [/ matemática]. Debería poder identificar cualquier polinomio de cualquier la licenciatura.
• Funciones racionales, que son polinomios sobre polinomios, por ejemplo [matemática] \ frac {2x ^ 2–1} {- 3x ^ 3 – x ^ 2 + 1} [/ matemática].
• Funciones trigonométricas, incluyendo seno, coseno, tangente y sus funciones co, por así decirlo. En cierta medida, debe conocer las identidades trigonométricas.
• Funciones exponenciales como [matemáticas] 2 ^ x, \ quad e ^ x [/ matemáticas].
• Ciertas inversas de estos. Por ejemplo, [math] \ sqrt {x} [/ math] es “el” inverso de [math] x ^ 2 [/ math] y debe comprender bien esta función. También [math] \ ln x [/ math] es el inverso de [math] e ^ x [/ math] y deberías entenderlo bien. Del mismo modo para [math] \ sin ^ {- 1} x [/ math], que es el inverso de [math] \ sin x [/ math].

Para todas estas funciones, debe estar familiarizado con traducirlas y escalarlas, saber cuáles son sus dominios y rangos, y estar familiarizado con sus gráficos.

Debería poder resolver cualquier ecuación con un polinomio de grado 1 o 2 (es decir, resolver ecuaciones lineales y cuadráticas) y quizás pueda resolver ciertas ecuaciones muy simples de grado 3 o 4 o 5, pero estas son menos comunes. Para las ecuaciones de grado 2, usar la factorización y una fórmula son buenas: la fórmula es rápida y universal, pero cuando se hacen ciertas cosas además de resolver, la factorización es lo correcto. Saber cómo resolver funciones racionales y algunas ecuaciones bastante simples que involucran otras funciones canónicas.

Conozca con al menos un nivel medio de familiaridad el círculo unitario y los valores comunes en él.

Sepa cómo encontrar la ecuación de una línea dado un punto en la línea y la pendiente de la línea.

Conocer las leyes exponenciales y logarítmicas.

Como una necesidad mucho más genérica, comprenda qué es una función y cuál es su gráfica. Asegúrese de comprender cómo encontrar una coordenada y en el gráfico de una función, dado el conocimiento de su coordenada x .

Sepa cómo reexpresar tantas cosas como sea posible en forma exponencial. Por ejemplo, asegúrese de comprender que [matemáticas] \ frac {1} {x} = x ^ {- 1} [/ matemáticas] y pueda usar esto para descubrir que, digamos, [matemáticas] 2 (x + 1) ^ {- 3} = \ frac {2} {(x + 1) ^ 3} [/ math]. Asegúrese de comprender [matemáticas] \ sqrt {x} = x ^ {1/2} [/ matemáticas] y nuevamente otras identidades similares.

Una cosa que a menudo no aprendes en álgebra, pero que puedes y debes, y que te usan todo el tiempo en cálculo es: la idea del conjugado. La idea del conjugado surge simplemente en números complejos. Pero también puede usarlo para “simplificar” (en cierto sentido) ciertas expresiones, y hacer esto es la única forma en que puede responder ciertas preguntas en Cálculo. Entonces, quizás investigue el conjugado incluso si no está en la mayoría de los recursos de Álgebra.

Finalmente, empiece a pensar en la idea de que las distinciones sutiles y aparentemente sin importancia realmente importan y pueden obtener respuestas totalmente diferentes, por lo que debe tener cuidado con lo que escribe y lo que dice, tanto para mantenerse en lo cierto como para mantener lo correcto. tu maestro cree que estás diciendo en cualquier respuesta dada. Llegará el día en que diga “la derivada es la pendiente” y se equivocará. Sobre este tema, escriba claramente y con organización en su papel, y haga un seguimiento cuidadoso de los paréntesis. He enseñado Cálculo unas 100 veces y no puedo decirte con qué frecuencia un estudiante se quedaría estancado, y podría reorganizar y expresar limpiamente el trabajo que el estudiante ya ha hecho, y de repente la respuesta correcta salta a la luz. ellos.

Además, si quieres recursos, creo que la introducción del curso abierto Calc de MIT es buena. Puedes leer el libro de Stewart Calc, es el estándar y no está mal, tal vez solo tengas una edición vieja y barata, las más nuevas no son mejores que las antiguas. La única razón por la que imprimen nuevas ediciones es para tratar de vender más libros nuevos en lugar de dejar que los estudiantes sigan haciendo circular los viejos. Khan Academy es a menudo un buen lugar para obtener una primera lección sobre cualquier cosa, pero nunca debes aprender un tema solo con Khan Academy, no es lo suficientemente completo.

Answer 4

Pruebas

Nunca había visto uno antes de ingresar a Waterloo (estudié matemáticas aplicadas, pero compartimos los mismos cursos de primer año con estudiantes de CS). Tuve serios problemas para poner mi cabeza a trabajar en la construcción de la prueba.

Ahora, como estudiante de maestría, miro hacia atrás y pienso: “Podría haberme ahorrado MUCHOS problemas si hubiera descubierto las pruebas antes de tiempo”. Todos los conceptos de cálculo deberían probarse en el primer año, y si puedes entender cómo se construye la prueba entonces siempre entenderá cómo operar el cálculo.

Answer 5

Precálculo?

Si tienes las habilidades de álgebra y trigonometría que aprendes en Álgebra 2 / Precálculo, entonces estás bien. Toma cualquier libro de texto de cálculo decente como Stewart o Anton y comienza a leerlos, mientras haces los problemas de práctica.

Además, hay muchas series de YouTube y Khan Academy para obtener ayuda adicional si la necesita.

Answer 6

• Álgebra (debe poder manipular expresiones fácilmente)
• Geometría (necesitará comprender puntos, líneas, áreas, etc.)

Eso es casi todo lo que necesitas para comenzar. Aunque cuanto más sepa, más fácil será y más sentido tendrá.

Answer 7

Puedes ver mi respuesta aquí:

La respuesta de Arash Ashrafzadeh a ¿Qué temas de cálculo previo necesitas para el cálculo?