A2A
Primero, notaremos la solución obvia, donde [matemáticas] (a, b) = (0,0) [/ matemáticas]
Entonces, si [matemáticas] a + ib \ ne 0 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ existe! (r, \ theta) \ in \ mathbb R ^ {* +} \ times (- \ pi, pi], \ forall k \ in \ mathbb N, a + ib = re ^ {i \ theta + 2k \ pi i } = r \ cos \ theta + ri \ sin \ theta [/ math]
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Tenga en cuenta que
[matemáticas] a = r \ cos \ theta [/ matemáticas]
[matemáticas] b = r \ sin \ theta [/ matemáticas]
[matemáticas] a ^ 2 + b ^ 2 = r ^ 2 \ cos ^ 2 \ theta + r ^ 2 \ sin ^ 2 \ theta = r ^ 2 (\ cos ^ 2 \ theta + \ sin ^ 2 \ theta) = r ^ 2 [/ matemáticas]
Por la misma razón
[matemáticas] \ existe! (q, \ omega) \ in \ mathbb R ^ {* +} \ times (- \ pi, pi], \ forall p \ in \ mathbb N, a + ib = qe ^ {i \ omega + 2p \ pi i } = q \ cos \ theta + qi \ sin \ theta [/ math]
Y
[matemáticas] b ^ 2 + a ^ 2 = q ^ 2 = r ^ 2 [/ matemáticas]
Como [math] (q, r) \ in \ mathbb R ^ {* +} \ times \ mathbb R ^ {* +}, q = r [/ math]
[matemáticas] \ begin {align} \ begin {cases} \ cos \ theta = \ sin \ omega \\ \ sin \ theta = \ cos \ omega \ end {cases} & \ Leftrightarrow \ cos \ theta \ sin \ omega + \ sin \ theta \ cos \ omega = \ cos ^ 2 \ theta + \ sin ^ 2 \ theta = 1 \\ & \ Leftrightarrow \ sin (\ theta + \ omega) = 1 \\ & \ Leftrightarrow \ theta + \ omega = \ frac {\ pi} {2} \ end {align} [/ math]
Entonces
[matemáticas] \ begin {align} (a + ib) ^ 5 = b + ai & \ Leftrightarrow (re ^ {i (\ theta + 2k \ pi)}) ^ 5 = re ^ {i (\ omega + 2p \ pi)} \\ & \ Leftrightarrow r ^ 5e ^ {i (5 \ theta + 10k \ pi)} = re ^ {i (\ omega + 2p \ pi)} \\ & \ Leftrightarrow \ begin {cases} r ^ 5 = r \\ e ^ {i (5 \ theta + 10k \ pi)} = e ^ {i (\ omega + 2p \ pi)} \ end {cases} \\ & \ Leftrightarrow \ begin {cases} r ^ 4 = 1 \\ 5 \ theta + 10k \ pi = \ omega + 2p \ pi \ end {cases} \\ & \ Leftrightarrow \ begin {cases} r = 1 \\ \ frac {\ pi} {2} – \ theta = 5 \ theta + 2 (5k-p) \ pi \ end {cases} \\ & \ Leftrightarrow \ begin {cases} r = 1 \\ 6 \ theta = \ frac {\ pi} {2} – 2 ( 5k-p) \ pi \ end {cases} \\ & \ Leftrightarrow \ begin {cases} r = 1 \\ \ theta = \ frac {\ pi} {12} – \ frac {5k-p} {3} \ pi \ end {cases} \\ & \ Leftrightarrow \ begin {cases} r = 1 \\ \ theta \ in \ {- \ frac {11 \ pi} {12}, – \ frac {7 \ pi} {12} , – \ frac {3 \ pi} {12}, \ frac {\ pi} {12}, \ frac {5 \ pi} {12}, \ frac {9 \ pi} {12} \} \ end {casos } \ end {align} [/ math]
[matemática] a = \ cos \ theta [/ matemática], [matemática] b = [/ matemática] [matemática] \ sin \ theta [/ matemática], con [matemática] \ theta \ in \ {- \ frac {11 \ pi} {12}, – \ frac {7 \ pi} {12}, – \ frac {3 \ pi} {12}, \ frac {\ pi} {12}, \ frac {5 \ pi} {12 }, \ frac {9 \ pi} {12} \} [/ math]