Si la razón de las raíces de [matemáticas] x ^ 2 + bx + c [/ matemáticas] es la misma que la relación de las raíces de [matemáticas] x ^ 2 + qx + r [/ matemáticas], entonces cuál es relación entre [matemáticas] b [/ matemáticas], [matemáticas] c [/ matemáticas], [matemáticas] q [/ matemáticas] y [matemáticas] r [/ matemáticas]?

Answer 1

A2A

Espero que estés familiarizado con la fórmula cuadrática:

[matemáticas] x_1 = \ dfrac {-b + \ sqrt {b ^ 2 – 4ac}} {2a} [/ matemáticas]

[matemáticas] x_2 = \ dfrac {-b – \ sqrt {b ^ 2 – 4ac}} {2a} [/ matemáticas]

Deja que las raíces de la primera ecuación. ser [matemática] x_1 [/ matemática], [matemática] x_2 [/ matemática] y la de la segunda ecuación. ser [matemáticas] y_1 [/ matemáticas], [matemáticas] y_2 [/ matemáticas]. Ahora,

[matemáticas] \ dfrac {x_1} {x_2} = \ dfrac {y_1} {y_2} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ dfrac {\ frac {-b + \ sqrt {b ^ 2 – 4c}} {2}} {\ frac {-b – \ sqrt {b ^ 2 – 4c}} {2}} = \ dfrac {\ frac {-q + \ sqrt {q ^ 2 – 4r}} {2}} {\ frac {-q – \ sqrt {q ^ 2 – 4r}} {2}} [/ math]

[matemáticas] \ dfrac {b – \ sqrt {b ^ 2 – 4c}} {b + \ sqrt {b ^ 2 – 4c}} = \ dfrac {q – \ sqrt {q ^ 2 – 4r}} {q + \ sqrt {q ^ 2 – 4r}} [/ math]

Multiplica la cruz y simplemente fíjala. Te quedarán estos términos:

[matemáticas] -q \ sqrt {b ^ 2 – 4c} + b \ sqrt {q ^ 2 – 4r} = q \ sqrt {b ^ 2 – 4c} – b \ sqrt {q ^ 2 – 4r} [/ matemáticas ]

Y al simplemente volar y cuadrar aún más, te queda,

[matemáticas] \ dfrac {b ^ 2} {c} = \ dfrac {q ^ 2} {r} [/ matemáticas]

Y esa es la relación entre b, c, q y r.

Answer 2

Deje que las raíces de la ecuación cuadrática [matemáticas] x ^ 2 + bx + c = 0 [/ matemáticas] sean [matemáticas] \ alpha y \ beta [/ matemáticas] respectivamente.

Entonces, [matemáticas] x ^ 2 – (\ alpha + \ beta) x + \ alpha \ beta = 0 [/ matemáticas]

Ahora tenemos

[matemáticas] \ alpha + \ beta = -b [/ matemáticas]. . . (1)

y [matemáticas] \ alpha \ beta = c [/ matemáticas]. . . (2)

Dividiendo (1) por [math] \ beta [/ math] en ambos lados, tenemos

[matemáticas] \ dfrac {\ alpha} {\ beta} + 1 = \ dfrac {-b} {\ beta} [/ matemáticas]. . . (3)

Deje que las raíces de la otra ecuación cuadrática [matemáticas] x ^ 2 + qx + r = 0 [/ matemáticas] sean [matemáticas] \ phi y \ theta [/ matemáticas] respectivamente.

Entonces, [matemáticas] x ^ 2 – (\ phi + \ theta) x + \ phi \ theta = 0 [/ matemáticas]

Ahora tenemos

[matemáticas] \ phi + \ theta = -q [/ matemáticas]. . . (4)

y [matemáticas] \ phi \ theta = r [/ matemáticas]. . . (5)

Dividiendo (4) por [matemáticas] \ theta [/ matemáticas] en ambos lados, tenemos

[matemáticas] \ dfrac {\ phi} {\ theta} + 1 = \ dfrac {-q} {\ theta} [/ matemáticas]. . . (6)

De acuerdo con la pregunta dada,
[matemáticas] \ dfrac {\ alpha} {\ beta} = \ dfrac {\ phi} {\ theta} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ dfrac {\ alpha} {\ beta} + 1 = \ dfrac {\ phi} {\ theta} +1 [/ matemáticas]

De (3) y (6), tenemos

[matemáticas] \ dfrac {-b} {\ beta} = \ dfrac {-q} {\ theta} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ dfrac {b} {\ beta} = \ dfrac {q} {\ theta} [/ matemáticas]. . . (YO)

Dividiendo (1) y (4) por [matemáticas] \ alpha [/ matemáticas] y [matemáticas] \ phi [/ matemáticas] respectivamente y siguiendo el mismo procedimiento que el anterior, obtenemos,

[matemáticas] \ dfrac {b} {\ alpha} = \ dfrac {q} {\ phi} [/ matemáticas]. . . (II)

Multiplicando las ecuaciones (I) y (II), obtenemos

[matemáticas] \ dfrac {b ^ 2} {\ alpha \ beta} = \ dfrac {q ^ 2} {\ phi \ theta} [/ matemáticas]

De (2) y (5), tenemos

[matemáticas] \ dfrac {b ^ 2} {c} = \ dfrac {q ^ 2} {r} [/ matemáticas] es la relación entre b, c, q y r.

¡Ten un feliz día!

🙂

Answer 3

Deje que las raíces de [matemáticas] x ^ 2 + bx + c = 0 [/ matemáticas] sean [matemáticas] x_1 [/ matemáticas] y [matemáticas] x_2 [/ matemáticas] y la de [matemáticas] x ^ 2 + qx + c = 0 [/ matemática] sea [matemática] y_1 [/ matemática] y [matemática] y_2. [/ matemática]

ahora,

[matemáticas] x_1 + x_2 = -b [/ matemáticas] y [matemáticas] x_1 * x_2 = c [/ matemáticas]

también, [matemáticas] y_1 + y_2 = -q [/ matemáticas] y [matemáticas] y_1 * y_2 = r [/ matemáticas]

Deje [math] x_1 / x_2 = y_1 / y_2 = k [/ math] o [math] x_1 = kx_2 [/ math] y [math] y_1 = ky_2 [/ math]

por lo tanto,

[matemáticas] (1 + k) x_2 = -b – (i) [/ matemáticas] [matemáticas] kx_2 ^ 2 = c – (ii) [/ matemáticas] usando las ecuaciones anteriores

[matemáticas] (1 + k) y_2 = -q – (iii) [/ matemáticas] [matemáticas] ky_2 ^ 2 = r – (iv) [/ matemáticas] usando las ecuaciones anteriores

tomando la relación de (i) y (iii) obtenemos [matemáticas] x_2 / y_2 = b / q [/ matemáticas]

y la relación de (ii) y (iv) obtenemos [matemáticas] x_2 ^ 2 / y_2 ^ 2 = c / r [/ matemáticas]

así obtenemos [matemáticas] b ^ 2 / q ^ 2 = c / r [/ matemáticas]

Answer 4

Aquí hay una manera simple. Deje que las raíces sean s & t y u & v respectivamente.

-> [matemáticas] s / t = u / v [/ matemáticas]

Aplicando Componendo y Dividendo –

-> [matemáticas] (st) / (s + t) = (uv) / (u + v) [/ matemáticas]

o [matemáticas] (st) ^ 2 / (s + t) ^ 2 = (uv) ^ 2 / (u + v) ^ 2 [/ matemáticas]

o [matemáticas] [(s + t) ^ 2-4st] / (s + t) ^ 2 = [(u + v) ^ 2-4uv] / (u + v) ^ 2 [/ matemáticas]

o [matemáticas] (b ^ 2-4c) / b ^ 2 = (q ^ 2-4r) / q ^ 2 [/ matemáticas]

o [matemáticas] 1-4c / b ^ 2 = 1- 4r / q ^ 2 [/ matemáticas]

o [matemáticas] c / b ^ 2 = r / q ^ 2 [/ matemáticas]

-> Relación: [matemáticas] rb ^ 2 = cq ^ 2 [/ matemáticas]

Espero que les guste la explicación!

😀

Answer 5

Deje que las raíces de la ecuación cuadrática x2 + bx + c = 0 [matemáticas] x2 + bx + c = 0 [/ matemáticas] sean α y β [matemáticas] α y β [/ matemáticas] respectivamente.

Entonces, x2− (α + β) x + αβ = 0 [matemática] x2− (α + β) x + αβ = 0 [/ matemática]

Ahora tenemos

α + β = −b [matemática] α + β = −b [/ matemática]. . . (1)

y αβ = c [matemática] αβ = c [/ matemática]. . . (2)

Dividiendo (1) por β [matemática] β [/ matemática] en ambos lados, tenemos

αβ + 1 = −bβ [matemática] αβ + 1 = −bβ [/ matemática]. . . (3)

Deje que las raíces de la otra ecuación cuadrática x2 + qx + r = 0 [matemática] x2 + qx + r = 0 [/ matemática] sean ϕyθ [matemática] ϕyθ [/ matemática] respectivamente.

Entonces, x2− (ϕ + θ) x + ϕθ = 0 [matemática] x2− (ϕ + θ) x + ϕθ = 0 [/ matemática]

Ahora tenemos

ϕ + θ = −q [matemática] ϕ + θ = −q [/ matemática]. . . (4)

y ϕθ = r [matemáticas] ϕθ = r [/ matemáticas]. . . (5)

Dividiendo (4) por θ [matemáticas] θ [/ matemáticas] en ambos lados, tenemos

ϕθ + 1 = −qθ [matemática] ϕθ + 1 = −qθ [/ matemática]. . . (6)

De acuerdo con la pregunta dada,
αβ = ϕθ [matemática] αβ = ϕθ [/ matemática]

αβ + 1 = ϕθ + 1 [matemática] αβ + 1 = ϕθ + 1 [/ matemática]

De (3) y (6), tenemos

−bβ = −qθ [matemática] −bβ = −qθ [/ matemática]

bβ = qθ [matemáticas] bβ = qθ [/ matemáticas]. . . (YO)

Dividiendo (1) y (4) por α [matemática] α [/ matemática] y ϕ [matemática] ϕ [/ matemática] respectivamente y siguiendo el mismo procedimiento que el anterior, obtenemos,

bα = qϕ [matemáticas] bα = qϕ [/ matemáticas]. . . (II)

Multiplicando las ecuaciones (I) y (II), obtenemos

b2αβ = q2ϕθ [matemática] b2αβ = q2ϕθ [/ matemática]

De (2) y (5), tenemos

b2c = q2r [matemáticas] b2c = q2r [/ matemáticas] es la relación entre b, c, q y r.

Answer 6

La proporción de las raíces será:

[matemáticas] \ begin {align} \ displaystyle \ frac {j} {k} & = \ frac {n} {n} \ cdot \ frac {j} {k} \\ \ displaystyle \ text {Let} x ^ 2 + bx + c & = (x + j) (x + k) \\ \ displaystyle \ text {Let} x ^ 2 + qx + r & = (x + nj) (x + nk) \\ \ displaystyle b & = j + k \ tag1 \\ \ displaystyle c & = j \ cdot k \ tag2 \\ \ displaystyle q & = nj + nk \\ \ displaystyle & = n (j + k) \\ \ displaystyle & = n \ cdot b \ tag3 \\ \ displaystyle r & = nj \ cdot nk \\ \ displaystyle & = n ^ 2 \ cdot j \ cdot k \\ \ displaystyle & = n ^ 2 \ cdot c \ tag4 \\ \ displaystyle \ frac { n} {n ^ 2} \ cdot \ frac {b} {c} & = \ frac {q} {r} \\ \ displaystyle \ frac {1} {n} \ cdot \ frac {b} {c} & = \ frac {q} {r} \\ \ displaystyle \ frac {b} {c} & = n \ cdot \ frac {q} {r} \ end {align} [/ math]

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Answer 7

Answer 8

La pregunta es bastante fácil de aplicar la regla de compendo y dividendo dada en la foto