Cómo prepararme para las abstracciones en matemáticas superiores

Answer 1

Cómo alguien puede hacerlo está más allá de mi experiencia; Sin embargo, puedo decirte cómo lo hice.

Lo que hice probablemente fue muy diferente de lo que esperabas. Primero, aprendí a escribir código de computadora, luego aprendí a abstraer las soluciones a algunos problemas del mundo real bastante fáciles en un programa o algoritmo de computadora. Lentamente intenté más y más problemas. Al mismo tiempo, aprendí más sobre cómo funcionan las computadoras en teoría (teoría computacional) y en el mundo real. A medida que aprendí más sobre informática, me volví mejor al reconocer cómo abstraer cosas del mundo real en los correspondientes modelos / algoritmos / ecuaciones / programas teóricos. Eventualmente, incluso podría abstraer los lenguajes de computadora en sus especificaciones de gramática (y viceversa, leer una especificación de gramática de lenguaje de computadora abstracta y aprender a programar a partir de ella bastante rápido).

Para ser honesto, nunca intenté álgebra abstracta como clase hasta que obtuve una licenciatura en ciencias de la computación y luego volví a la escuela para convertirme en maestro de matemáticas. En este momento, tenía tanta práctica con la abstracción, que el álgebra abstracta era en realidad una clase muy divertida para mí. La forma en que la lógica rigurosa combinada con la abstracción de los principios algebraicos encajaba muy bien con cómo veía las cosas en el mundo y cómo funcionaba mi cerebro después de todo el entrenamiento que había realizado durante la universidad.

Se necesita una visión bastante más amplia de las matemáticas para ver Álgebra abstracta (AA) por la belleza que contiene. En AA, ya no está trabajando con procesos y detalles computacionales esenciales, pero está retrocediendo y observando cómo funciona el álgebra. En el proceso, incluso puede diseñar algunos sistemas algebraicos propios. Si uno de sus valores es obtener conocimiento e información sobre cómo funcionan las cosas, conquistar álgebra abstracta es muy satisfactorio.

Answer 2

El álgebra abstracta fue definitivamente el curso de matemáticas más difícil que he tomado hasta ahora. Aunque a muchas personas les pareció simple, al principio luché con eso.

Lo primero que recomiendo es aprender a generalizar las matemáticas. Esa fue mi mayor lucha con el álgebra abstracta. Escribir pruebas no es mi punto fuerte, pero es crucial para que aprendas álgebra abstracta. Si eres como yo, es fácil mirar una fórmula y determinar si funcionará o no. Generalizarlo para demostrar que funcionará siempre es la parte difícil. Intenta reemplazar los números que estás pensando con letras y muestra cada paso. A veces, incluso probarlo usando números primero, luego ajustarlo para generalizar puede ayudar. Lleva más tiempo, pero puede facilitar la escritura de pruebas. Recordar otras reglas de álgebra también es útil. Tales como fórmulas para números pares o impares.

A medida que aprende sobre los isomorfismos (y otros términos que suenan casi locos), es extremadamente útil estudiar las propiedades y los términos mediante tarjetas flash. Revisar las reglas si algo es individual o puede ayudarlo con este tema.

Debido a que es más computacional, la aritmética modular podría haber sido más fácil para usted … pero si no lo fue, piense en los conjuntos de números como un reloj atascado en un ciclo. Además, las reglas discretas como el método de Euler son útiles. Para las permutaciones y los ciclos, no tenga miedo de dibujar en el libro o en los exámenes que conectan un número con otro, etc.

El álgebra abstracta está llena de muchas reglas y términos nuevos que pueden ser difíciles de entender la primera vez. Recomiendo usar tarjetas y estudiar las reglas y propiedades. Poder escribir pruebas y conocer las propiedades es la mitad de la batalla.

Además, no tenga miedo de buscar ayuda de su maestro, un tutor o incluso de otro estudiante. El álgebra abstracta no es un concepto simple. Se necesita una persona bastante inteligente para llegar tan lejos en matemáticas. Y las clases siempre son más fáciles la segunda vez, lo prometo. (Fallé calc 2 la primera vez)

Answer 3

¡ Seguramente estás bromeando, señor Feynman! Richard Feynman habla sobre lo que solía hacer cuando discutía conceptos muy abstractos con sus amigos matemáticos. Como una abstracción es típicamente una generalización de algún concepto, existen ejemplos específicos de la abstracción. Si piensa en un ejemplo de cualquier abstracción de la que está hablando y juega con ella en su cabeza, puede ver las propiedades de la abstracción “en acción” y comenzar a comprender por qué se aplica cierta generalización. Es útil si piensa en casos específicos de la abstracción que sean lo más diferentes posible, para que realmente pueda ver qué similitudes surgen como resultado de las propiedades generales que comparten.

Este es el método que utilizo para manejar las abstracciones, y puedo decir por experiencia de primera mano que es extremadamente útil. Cuando estaba aprendiendo sobre espacios vectoriales en Álgebra lineal, pensar en espacios vectoriales como [math] \ textbf {R} ^ 2 [/ math] o polinomios y jugar con ejemplos específicos de cada uno me ayudó a comprender las nociones de independencia lineal, bases, coordenadas, y similares.

Answer 4

Pensar en el espacio matemático abstracto es como correr una maratón. Sin entrenamiento, te irá muy mal. ¡No intentes correr una maratón si no puedes correr una milla!

Muchos departamentos de matemáticas tienen un curso titulado “Introducción a las matemáticas abstractas”. Este curso generalmente cubre los conceptos básicos de funciones, mapeos, conjuntos, inducción, cardinalidad y particiones. Recomiendo un libro de texto de D. Smith, M. Eggen y R. Andre titulado A Transition to Advanced Mathematics.

Para consejos generales al pensar en matemáticas abstractas:

1. Si no comprende algo, comience con lo que sabe. Encuentra ejemplos. Haz tus propios ejemplos. Intente comprender qué pasa con el ejemplo que es importante para lo que está trabajando y qué se agregó para hacerlo más concreto. Luego, lentamente comience a eliminar los elementos de concreto de lo que está trabajando.
2. Comprender bien la estructura de una prueba. Lee muchas pruebas. Escribe muchas pruebas. Lea las pruebas de otros estudiantes en su clase, luego vuelva a leer y edite su prueba. Al final de este proceso, debe sentir, sin ninguna duda, que la prueba que creó es real y que toda la información que utilizó también es cierta.

Debe poder correr una milla antes de poder correr un maratón. Comience despacio, ejercite su “músculo matemático” y llegará allí.

EDITAR: Recuerde, la matemática abstracta no se trata solo de saber hacer las matemáticas. Yo diría que es más importante poder comunicar las matemáticas que estás haciendo. Entonces, pasa mucho tiempo hablando con otras personas sobre tu curso. El profesor, estudiantes por encima de su nivel de matemáticas, en su clase, por debajo de su nivel de matemáticas. Encontrará que esta es la mejor manera de ejercitar su músculo matemático.

Answer 5

¡Tome un álgebra lineal (110) antes del 113! 110 es mucho más concreto y 113 …

Y lo peor es lo peor que siempre puede: resolver cada problema en su libro de texto (o algún otro libro de texto si su libro de texto es aburrido como “primer curso de álgebra abstracta”). Hacer esto al menos le dará cierta familiaridad con las estructuras algebraicas que necesita saber … (homomorfismo de Z5 a Z9, ¿qué pensaría? ¿Qué tal Z5 a Z10? ¿Qué aspecto tiene Aut (Z25)? ¿Qué tal S4? A3 Estas son cosas con las que debes estar familiarizado)

Answer 6

Si no te gustan las matemáticas abstractas, entonces no creo que te vaya bien, el único consejo que puedo darte es aprender a amar las matemáticas. Solía ​​ser bueno solo en matemáticas computacionales y ahora me encantan las matemáticas. Esto me ha llevado por un camino que me llevó a no ser tan bueno en matemáticas computacionales, pero ahora entiendo las matemáticas abstractas en profundidad mucho más y créanme cuando lo digo, es realmente notable.

Answer 7

Si tienes una sólida comprensión del cálculo y la lógica, entonces no deberías tener problemas con ningún curso de matemáticas en el nivel 300 en adelante.