¿Puedes resolver este problema matemático sin cálculo?

Answer 1

De la siguiente imagen, lo que queremos encontrar es la posición del segmento [matemática] MN [/ matemática] que minimiza el área del triángulo [matemática] \ Delta OMN [/ matemática]

Vamos a denotar [matemática] ON = x, OM = y, IP = a [/ matemática] y [matemática] IQ = b [/ matemática] donde [matemática] P = (0, 7), Q = (3, 0) [/ matemáticas] de acuerdo con la descripción. También denotamos áreas de [matemática] \ Delta OMN, \ Delta PMI [/ matemática] y [matemática] \ Delta QIN [/ matemática] por [matemática] S, S_ {PMI} \ text {y} S_ {QIN} [ / matemáticas] respectivamente.

Uno puede demostrar fácilmente que [math] \ Delta PMI [/ math] es similar a [math] \ Delta OMA [/ math]. Esto también es cierto para [math] \ Delta OIN [/ math] y [math] \ Delta OMN [/ math]. Como resultado, [math] \ Delta PMI [/ math] es similar a [math] \ Delta OIN [/ math]. Por lo tanto,

[matemáticas] \ frac {S_ {PMI}} {S} = \ left (\ frac {a} {x} \ right) ^ 2 \ qquad (1) [/ math]

[matemáticas] \ frac {S_ {QIN}} {S} = \ left (\ frac {b} {y} \ right) ^ 2 \ qquad (2) [/ math]

y

[matemáticas] \ frac {a} {x} = \ frac {y – b} {y} \ qquad (3) [/ matemáticas]

Desde [math] S = S_ {OPIQ} + S_ {PMI} + S_ {QIN} [/ math]. Con la consideración de (1) y (2), se nos ocurre una resolución de ecuaciones para [math] S [/ math] de la siguiente manera:

[matemática] S = ab + \ left (\ frac {a} {x} \ right) ^ 2 S + \ left (\ frac {b} {y} \ right) ^ 2 S [/ math]

donde [math] S_ {OPIQ} = ab [/ math] es el área del rectangular [math] OPIQ [/ math]

Así:

[matemáticas] \ frac {1} {S} = \ frac {1} {ab} – \ frac {1} {ab} \ cdot \ left (\ frac {a ^ 2} {x ^ 2} + \ frac { b ^ 2} {y ^ 2} \ right) [/ math]

Además, la ecuación (3) da:

[matemáticas] \ frac {a} {x} + \ frac {b} {y} = 1 \ qquad (4) [/ matemáticas]

Basarse en el hecho de que:

[matemáticas] \ left (1 \ cdot \ frac {a} {x} + 1 \ cdot \ frac {b} {y} \ right) ^ 2 \ le (1 ^ 2 + 1 ^ 2) \ cdot \ left ( \ frac {a ^ 2} {x ^ 2} + \ frac {b ^ 2} {y ^ 2} \ right) [/ math] (desigualdad de Cauchy-Schwarz)

entonces,

[matemáticas] 2 \ cdot \ left (\ frac {a ^ 2} {x ^ 2} + \ frac {b ^ 2} {y ^ 2} \ right) \ ge 1 [/ math] debido a (4)

o solo,

[matemáticas] \ frac {1} {S} = \ frac {1} {ab} – \ frac {1} {ab} \ cdot \ left (\ frac {a ^ 2} {x ^ 2} + \ frac { b ^ 2} {y ^ 2} \ right) \ le \ frac {1} {ab} – \ frac {1} {2ab} = \ frac {1} {2ab} [/ math]

[matemáticas] \ Leftrightarrow S \ ge 2ab [/ matemáticas]

Para que [math] S [/ math] alcance su mínimo [math] S ^ * = 2ab [/ math] como ocurre un signo igual en la desigualdad, lo que significa [math] \ frac {a} {x} = \ frac {b } {y} \ qquad (5) [/ matemáticas]

Observe en (4) que [matemáticas] \ frac {a} {x} + \ frac {b} {y} = 1 [/ matemáticas] combinando con (5), se obtiene:

[matemáticas] \ frac {a} {x} = \ frac {b} {y} = \ frac {1} {2} [/ matemáticas]

En otras palabras, esto dice que como el segmento [math] MN [/ math] está en una posición, entonces el punto I se convierte en el punto medio del segmento [math] MN [/ math] y luego el triángulo [math] OMN [/ math] tiene un mínimo zona.

Como por la construcción [matemática] a = 3, b = 7 [/ matemática] entonces [matemática] S ^ * = 42 [/ matemática]. En la imagen [matemática] M’N ‘[/ matemática] muestra la posición óptima del segmento [matemática] MN \ cuadrado [/ matemática]

Answer 2

Aquí hay una solución que da la respuesta correcta sin cálculo, pero hay un pequeño vacío en el razonamiento.

La línea con pendiente [matemática] -m [/ matemática] a [matemática] (3,7) [/ matemática] tiene la ecuación [matemática] y – 7 = -m (x – 3) [/ matemática]. Supongo que tiene la intención de que el ángulo recto del triángulo esté en el origen. La altura del triángulo, conectando [matemática] x = 0 [/ matemática] y resolviendo para [matemática] y [/ matemática], es entonces [matemática] (3m + 7) [/ matemática]. La base del triángulo, conectando [matemática] y = 0 [/ matemática] y resolviendo para [matemática] x [/ matemática], es entonces [matemática] \ frac {7} {m} + 3 [/ matemática]. En total, el área de nuestro triángulo es [matemáticas] A = \ frac {1} {2} (3m + 7) (\ frac {7} {m} + 3) = \ frac {1} {2} (9m + 42 + \ frac {49} {m}) [/ math], y esta es la cantidad que queremos minimizar.

Aquí está la parte inestable: por experiencia con funciones de esta forma, sé que disminuye, toca fondo y luego vuelve a aumentar. Esto significa que para cada área no mínima, hay dos [math] m [/ math] s que producen esta área, mientras que para el área mínima, solo hay una . Nuestra estrategia será comenzar con una [matemática] A [/ matemática] fija y luego resolver las [matemática] m [/ matemática] que producen esta área. El área que produce solo una [matemática] m [/ matemática] será el área mínima.

Ahora para álgebra. Combinando términos, [matemática] A = \ frac {9m ^ 2 + 42m + 49} {2m} [/ matemática]. Multiplicando por el denominador, [matemáticas] 2Am = 9m ^ 2 + 42m + 49 [/ matemáticas]. Reordenando, [matemática] 9m ^ 2 + (42 – 2A) m + 49 = 0 [/ matemática]. La fórmula cuadrática nos dice que [matemáticas] m = \ frac {- (42 – 2A) \ pm \ sqrt {(42 – 2A) ^ 2 – 4 \ cdot 9 \ cdot 49}} {2 \ cdot 9} [/ matemáticas]. Solo hay una solución precisamente cuando la cantidad en la raíz cuadrada es cero. Entonces resolvemos: [matemáticas] (42 – 2A) ^ 2 – 4 \ cdot 9 \ cdot 49 = 0 [/ matemáticas]. Reordenando, [matemática] 42 – 2A = \ pm \ sqrt {4 \ cdot 9 \ cdot 49} [/ matemática]. Al resolver [matemáticas] A [/ matemáticas], obtenemos [matemáticas] A = 0 [/ matemáticas] o [matemáticas] 42 [/ matemáticas]. Podemos eliminar [matemáticas] A = 0 [/ matemáticas] como una solución espuria – proviene de [matemáticas] m <0 [/ matemáticas]. Por lo tanto, el área mínima es 42.

Answer 3

Como necesita la solución que no usa cálculo, he intentado resolverlo usando AM, desigualdad de GM. Por supuesto, AM, la desigualdad GM puede derivarse del cálculo, pero hay muchas otras formas de demostrarlo.

[1]

Notas al pie

[1] Desigualdad de medios aritméticos y geométricos – Wikipedia

Answer 4

Entonces, queremos los triángulos con puntos (0,0), (x, 0), (0, y) de modo que la línea desde (x, 0) a (0, y) pase por el punto (3,7).

Podemos resolver esto geométricamente. Sea A el punto (3,7). Construya dos rectángulos OBCD y OEFG que pasan a través de A. OBCD tiene ancho 6 y altura 7, mientras que OEFG tiene ancho 3 y altura 14.

Luego considere dos puntos M y N en el eje yyx de modo que OMN forme un triángulo y que A se encuentre en la línea MN.

Para encontrar el área del triángulo OMN podemos cortar la parte superior ADM y rotarla en el triángulo ACM ‘. Esto llena todo el rectángulo OBCD. Y vemos que el área es el área de OBCD más la parte exterior, triángulo BNM ‘.

Para que el área sea lo más pequeña posible, queremos que BNM ‘sea lo más pequeño posible. Esto lo podemos hacer estableciendo N = B = (6,0). Aquí el área del triángulo es exactamente la misma que el rectángulo, es decir, 3 * 7 * 2 = 42.

Para hacer las cosas más rigurosas, podríamos considerar el triángulo con N

Answer 5

Si tuviera que adivinar, diría que el área mínima es cuando los dos triángulos [matemática] \ triangular BCP [/ matemática] y [matemática] \ triangular PDA [/ matemática] son ​​del mismo tamaño.

Por lo tanto, [matemática] a-3 = 3 \ implica a = 6 [/ matemática] y [matemática] b-7 = 7 \ implica b = 14 [/ matemática]

y el área cerrada es [matemáticas] \ frac12 \ veces 14 \ veces 6 = 42 [/ matemáticas].

Por supuesto, esto solo se puede verificar mediante cálculo. He usado el método de cálculo tradicional en el comentario que sigue a mi respuesta y descubrí que esta es realmente la respuesta.

Answer 6

Este es un problema de optimización que, de hecho, requiere cálculo. Supongo que podrías resolverlo a través de la fuerza bruta o algún otro método oscuro, pero el cálculo definitivamente sería el más fácil.

Answer 7

Answer 8

EDITAR: esto no funcionó de la manera que esperaba (ver comentarios). Creo que la respuesta será en este sentido, pero por ahora está mal.

No para proporcionar una solución completa, sino para delinear un camino a seguir: el área de su triángulo es (intersección x) * (intersección y) / 2. Reparametrice esta ecuación (usando su coordenada conocida) para que solo tenga una variable, digamos, solo la intersección x. Deberías terminar con una ecuación cuadrática. A partir de ahí, es un ejercicio matemático bastante estándar: encuentre el mínimo de la parábola (pista: complete el cuadrado, reescribiéndolo como (xa) ^ 2 + c, en cuyo caso a será la intersección x minimizadora y c será el valor del área en esta intersección x; si desea la pendiente, puede calcularla desde allí).