Gran pregunta! Comencemos eligiendo una definición de “álgebra”: Álgebra es el estudio preciso de operaciones que relacionan objetos. (Por favor, no me den demasiadas molestias, pero no quiero elegir una definición que esté demasiado “allá afuera”).
Ahora, ¿qué podrían ser los objetos? Números, funciones, espacios, cualquier cosa realmente. Cuando tus objetos son etiquetas sin estructura, obtienes álgebra pura. Cuando sus objetos son clases de homotopía de funciones continuas, básicamente obtiene una topología algebraica. Cuando tus objetos son universos de objetos, ¿quizás obtienes teoría de categorías?
¿Cuáles podrían ser las operaciones? Cuando tienes una regla para convertir dos cosas en una sola, obtienes magmas, semigrupos, monoides, grupos, etc. Por lo tanto, podemos estudiar simetrías con “álgebra”, así como la evolución del tiempo (los sistemas dinámicos son espacios equipados con una acción de los números reales que se suman, por ejemplo). Cuando tienes dos operadores binarios diferentes, obtienes plataformas, anillos y campos. Cuando tienes escalares y aún puedes agregar objetos, obtienes módulos y espacios vectoriales.
¿Qué sucede si no podemos combinar ningún objeto, pero solo los que pueden combinarse? Obtiene categorías y grupos de grupos, que son modelos sueltos de espacios dirigidos y no dirigidos, o modelos de universos de objetos (lugares donde viven lógicas superiores).
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El álgebra también es dual a la geometría en un sentido bastante preciso. Si tienes un tipo de álgebra, probablemente esté perfectamente representado por algún tipo de espacio.
El álgebra es cómo los matemáticos hablan de muchas, muchas ideas. ¡Esta es una pregunta difícil!