Si utilizamos la notación [math] \ Pi [/ math] para productos, la notación [math] \ Sigma [/ math] para sumas y [math] \ Delta [/ math] para las diferencias, entonces ¿por qué no tenemos una notación de cociente especial?

Answer 1

No necesitamos uno porque sería básicamente lo mismo que la notación del producto. Si divide entre [matemática] a [/ matemática] y luego entre [matemática] b [/ matemática], simplemente está dividiendo entre [matemática] a \ cdot b [/ matemática]. Entonces, si desea un cociente, puede usar el producto de los inversos multiplicativos, como [math] \ prod \ limits_i \ frac {i} {x_i} [/ math].

Además, una notación de cociente sería un poco confusa de ampliar. [math] \ sum \ limits_ {i} x_i = x_1 + x_2 + \ cdots [/ math] y [math] \ prod \ limits_ix_i = x_i \ times x_2 \ times \ cdots [/ math]. Entonces, si tuviera una notación de cociente, ¿le daría [matemáticas] x_1 / x_2 / x_3 / x_4 / \ cdots [/ matemáticas]? Esto parecería indicar [matemáticas] \ frac {x_1} {x_2 \ veces x_3 \ veces \ cdots} [/ matemáticas] o [matemáticas] \ frac {x_1 \ veces x_3 \ veces \ cdots} {x_2 \ veces x_4 \ veces \ cdots} [/ math]. De cualquier manera, ya puede expresar claramente el significado con notación de producto.

Answer 2

La notación del producto es útil porque los productos son conmutativos y asociativos. Los cocientes no lo son. Como tal,

[matemáticas] a \ cdot b \ cdot c \ cdot d \ cdot e [/ math]

tiene un significado claramente definido, aunque no estoy seguro de qué

[matemáticas] a \ div b \ div c \ div d \ div e [/ matemáticas]

posiblemente podría significar. Es super ambiguo. Quizás se supone que es

[matemáticas] \ frac {a} {\ frac {b} {\ frac {c} {\ frac {d} {e}}}} [/ matemáticas]?

Si es así, es lo mismo que [math] \ frac {ace} {bd} [/ math] y podríamos representar un cociente tan repetido en la notación de producto como

[matemáticas] \ displaystyle \ prod_ {i = 0} ^ {n} \ frac {a_ {2i}} {a_ {2i + 1}} [/ matemáticas]

Siempre que solo digamos que [math] a_ {2n} = 1 [/ math] siempre que no tengamos un número par de cosas para dividir en cadena.

Dicho esto, realmente nunca he visto un caso de uso para tal división en cadena. Lo que sí veo con frecuencia son fracciones continuas, que tienen una conveniente notación abreviada:

[matemáticas] [1; 1,1,1,1,1, \ puntos] = 1 + \ frac {1} {1+ \ frac {1} {1+ \ frac {1} {1+ \ frac {1 } {1+ \ frac {1} {1+ \ frac {1} {\ ddots}}}}}} [/ math]

Answer 3

La notación delta a la que te refieres no es la misma que pi y sigma, que están sobre conjuntos (a veces infinitos) y también se pueden usar para valores negativos y exponentes respectivamente.

Pero tenemos una notación de cociente increíblemente importante en matemáticas, a saber, d / dx o dy / dx, que se refieren a la pendiente a medida que los valores delta se vuelven infinitamente pequeños en o cerca de cierto valor.

Tenga en cuenta que hay varios deltas solo por diferencias, Δ se usa para valores pequeños específicos, para derivadas parciales en el mismo infinitesimalmente pequeño como una ‘d’ regular se usa en dy / dx dos veces, no importa los otros que se pueden encontrar en Delta – Wikipedia.

Answer 4

Estoy de acuerdo con Rod Dylan, pero enfatizaría más su primer punto. La suma y la multiplicación se pueden definir con cualquier número de argumentos. La resta y la división se aplican solo a dos argumentos a la vez. Si desea utilizar más argumentos, debe definir el orden.

Por lo tanto, la notación pi y sigma son especiales, para operaciones que pueden manejar un número arbitrario de argumentos.

Para operaciones en dos argumentos, tenemos muchas anotaciones para todo tipo de operaciones.

Answer 5

Simplemente porque la división ES multiplicación en el núcleo mismo de su definición. Simplemente multiplica con elementos inversos para que sea una notación innecesaria.