Dada una relación: [matemáticas] (p, q) R (p ‘, q’) [/ matemáticas], ¿qué se supone que significa la clase de equivalencia [matemáticas] [(a, b)] [/ matemáticas]?

Esto solo tiene sentido si [math] R [/ math] es una relación de equivalencia. Una revisión rápida:

Dado un conjunto [matemática] X [/ matemática], una relación en [matemática] X [/ matemática] es cualquier subconjunto de [matemática] X \ veces X [/ matemática]. Cuando [math] (x, y) [/ math] está en una relación [math] R [/ math], normalmente escribimos [math] xRy [/ math] y decimos “[math] x [/ math] está relacionado a [matemáticas] y [/ matemáticas] “. La notación inusual oculta cuán simple es realmente la definición.

Decimos que una relación [matemática] R [/ matemática] en un conjunto [matemática] X [/ matemática] es una relación de equivalencia si se cumplen las siguientes tres propiedades:

  1. Reflexividad: Para todas [matemáticas] x \ en X [/ matemáticas], tenemos [matemáticas] xRx [/ matemáticas].
  2. Simetría: Para todos [math] x, y \ in X [/ math], tenemos [math] xRy [/ math] si y solo si [math] yRx [/ math].
  3. Transitividad: Para todos [matemática] x, y, z \ en X [/ matemática], si tanto [matemática] xRy [/ matemática] como [matemática] yRZ [/ matemática], entonces [matemática] xRZ [/ matemática].

La noción de relación de equivalencia formaliza la idea de “una relación que se comporta como la igualdad”.

Ejemplos:

  • Igualdad: [matemática] xRy [/ matemática] si y solo si [matemática] x = y [/ matemática], para cualquier conjunto [matemática] X [/ matemática].
  • Deje que [math] X [/ math] sea el conjunto de vértices de algún gráfico no dirigido, y deje que [math] xRy [/ math] si y solo si hay una ruta desde [math] x [/ math] a [math] y [/ math].
  • (No del todo preciso) Deje [math] X [/ math] ser el conjunto de ubicaciones de la Tierra en tierra, y deje [math] xRy [/ math] si y solo si puede obtener de [math] x [/ math] a [matemáticas] y [/ matemáticas] sin un bote.

No ejemplos:

  • No igualdad: [matemática] xRy [/ matemática] si y solo si [matemática] x \ neq y [/ matemática], para cualquier conjunto no vacío [matemática] X [/ matemática]. La simetría se mantiene, pero la reflexividad siempre falla y la transitividad falla si hay al menos dos elementos.
  • Deje que [math] X [/ math] sea el conjunto de vértices de algún gráfico dirigido, y deje que [math] xRy [/ math] si y solo si hay una ruta dirigida de [math] x [/ math] a [math ] y [/ matemáticas]. La reflexividad y la transitividad se mantienen, pero la simetría no.
  • (No del todo preciso) Sea [matemática] X [/ matemática] el conjunto de ubicaciones en la Tierra, y deje [matemática] xRy [/ matemática] si la distancia de [matemática] x [/ matemática] a [matemática] y [ / matemáticas] es menos de cinco millas. La reflexividad y la simetría se mantienen, pero la transitividad no.

La construcción más común hecha con relaciones de equivalencia es su conjunto de clases de equivalencia. Si [math] R [/ math] es una relación de equivalencia en [math] X [/ math], entonces deje

[matemáticas] [x] = \ {y \ en X ~ | ~ xRy \}. [/ matemáticas]

Llamamos a esto la clase de equivalencia de [math] x [/ math] con respecto a [math] R [/ math].

Ejercicio: utilice las propiedades definitorias de la relación de equivalencia para demostrar que [matemáticas] [x] = [y] [/ matemáticas] si y solo si [matemáticas] xRy [/ matemáticas], si y solo si [matemáticas] yRx [/ matemáticas ]

La intuición es que todos los elementos de [matemáticas] [x] [/ matemáticas] son ​​”lo mismo que [matemáticas] x [/ matemáticas], cuando se consideran hasta [matemáticas] R [/ matemáticas]”. Por ejemplo, usted y Soy gente diferente No somos equivalentes Pero si solo nos importan las personas hasta la relación de equivalencia

[math] R = \ text {“están en el mismo planeta”} [/ math],

entonces estamos (probablemente) en la misma clase de equivalencia. Somos equivalentes “hasta” residencia planetaria.

Volviendo a la pregunta original, parece que el conjunto en cuestión aquí es un conjunto de pares. Entonces, donde escribimos [matemáticas] x, y, z, \ ldots [/ matemáticas] arriba, el contexto de la pregunta tendrá [matemáticas] (x, y), (r, s), (a, b), \ ldots [/ math] en su lugar. El ejemplo de ubicaciones en la Tierra, si las etiquetamos por latitud y longitud, también sería un ejemplo de una relación de equivalencia entre pares.