¿Cómo podemos integrar [matemáticas] a ^ x [/ matemáticas] con respecto a [matemáticas] x [/ matemáticas]?

Answer 1

Estamos buscando la fórmula general para la integral de [matemáticas] a ^ x [/ matemáticas] con base constante [matemáticas] a [/ matemáticas] y variable [matemáticas] x [/ matemáticas]. Se puede resolver de la siguiente manera, usando una sustitución [math] u [/ math]:

[matemáticas] \ displaystyle \ int a ^ x dx = \ int e ^ {\ ln (a ^ x)} dx = \ int e ^ {x \ ln a} dx [/ math]

Ahora, podemos hacer la sustitución [math] u = x \ ln a [/ math], primero encontrando el valor de [math] dx [/ math]:

[math] du = \ ln a \ cdot dx [/ math] ([math] a [/ math] y [math] \ ln a [/ math] son constantes , no variables)

[matemáticas] dx = \ dfrac {du} {\ ln a} [/ matemáticas]

Ahora podemos sustituir:

[matemáticas] \ displaystyle \ int e ^ u \ cdot \ dfrac {du} {\ ln a} [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle = \ dfrac {1} {\ ln a} \ int e ^ u du [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle = \ dfrac {1} {\ ln a} e ^ u [/ matemáticas]

Recordando el valor de [math] u [/ math] como [math] x \ ln a = \ ln a ^ x [/ math], ahora podemos sustituir:

[matemáticas] \ displaystyle = \ dfrac {1} {\ ln a} e ^ {\ ln a ^ x} [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle = \ dfrac {1} {\ ln a} \ cdot a ^ x [/ math]

[matemáticas] \ boxed {\ displaystyle \ int a ^ x dx = \ dfrac {a ^ x} {\ ln a} + C} [/ math]

Answer 2

Observe que [matemáticas] a ^ x = e ^ {x \ ln {a}} [/ matemáticas]:

[matemáticas] \ displaystyle \ int e ^ {x \ ln {a}} \, \ mathrm {d} x [/ math]

Sustituya [math] u = x \ ln {a} \ Longleftrightarrow \ mathrm {d} u = \ ln {a} \, \ mathrm {d} x \ Longleftrightarrow \ frac {\ mathrm {d} u} {\ ln { a}} = \ mathrm {d} x [/ math]:

[matemáticas] \ frac {1} {\ ln {a}} \ displaystyle \ int e ^ u \, \ mathrm {d} u = \ frac {e ^ u} {\ ln {a}} + C = \ frac {e ^ {x \ ln {a}}} {\ ln {a}} + C = \ frac {a ^ x} {\ ln {a}} + C [/ math]

Se ve similar a la regla de poder, en realidad.

EDITAR: con eso, quiero decir en la regla de poder derivado, multiplicas por algo, y en la regla de poder integral, divides por esa cosa.

Answer 3

[matemáticas] e ^ b = a [/ matemáticas]

[matemáticas] b = \ log_e a [/ matemáticas]

[matemáticas] b = \ ln a [/ matemáticas]

[matemáticas] e ^ {\ ln a} = a [/ matemáticas]

[matemáticas] \ int (e ^ {\ ln a}) ^ x \, dx [/ matemáticas]

[matemáticas] \ int (e ^ x) ^ {\ ln a} \, dx [/ matemáticas]

[matemáticas] \ int e ^ x \ cdot (e ^ x) ^ {\ ln {a-1}} \, dx [/ matemáticas]

por integración por sustitución:

[matemáticas] \ int u ^ {\ ln {a-1}} \, du [/ matemáticas]

desde [matemáticas] \ int x ^ n \, dx = \ frac {x ^ {n + 1}} {n + 1}: [/ matemáticas]

[matemáticas] \ int u ^ {\ ln {a-1}} \, du = \ frac {u ^ {\ ln a}} {\ ln a} = \ frac {(e ^ x) ^ {\ ln a }} {\ ln a} [/ math]

[matemáticas] \ frac {(e ^ {\ ln a}) ^ x} {\ ln a} [/ matemáticas]

Como [math] e ^ {\ ln a} = a, [/ math]

[matemáticas] \ int a ^ x \, dx = \ frac {a ^ x} {\ ln a} + C [/ matemáticas]

Answer 4

Ver también: la respuesta de Dominic Shum a ¿Cómo podemos diferenciar [matemáticas] a ^ x [/ matemáticas] con respecto a [matemáticas] x [/ matemáticas]?

[matemáticas] \ displaystyle \ int a ^ x \, dx [/ matemáticas]

[math] = \ displaystyle \ int e ^ {\ ln a ^ x} \, dx [/ math]

[math] = \ displaystyle \ int e ^ {x \ ln a} \, dx [/ math]

[matemáticas] = \ displaystyle \ frac 1 {\ ln a} \ int e ^ {x \ ln a} \, d (x \ ln a) [/ math]

[math] = \ displaystyle \ dfrac {e ^ {x \ ln a}} {\ ln a} + C [/ math]

[matemática] \ en caja {= \ dfrac {a ^ x} {\ ln a} + C} [/ matemática]

¡Hecho! ✔

Aquí está la explicación: la respuesta de Dominic Shum a Tenemos una regla de cadena en la diferenciación. ¿Existe una regla similar en la integración?

Answer 5

Si y = a ^ x, entonces ln (y) = ln (a ^ x) = x * ln (a)

Entonces tomemos la derivada implícitamente aquí, porque la usaremos para obtener la integral más adelante.

ln (y) = x * ln (a)

d / dx (ln (y)) = d / dx (x * ln (a))

1 / y * dy / dx = 1 * ln (a) + x * 0

dy / dx = y * ln (a)

∫dy = ∫ ln (a) * y * dx

∫ dy = ln (a) * ∫ y * dx

ln (a) * ∫ y * dx = ∫ dy

∫ y * dx = 1 / (ln (a)) * ∫ dy

∫ a ^ x * dx = 1 / (ln (a)) * ∫ dy

Answer 6

Cómo integrar [matemáticas] {a} ^ {x} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ int {\ left ({{a} ^ {x}} \ right) dx} [/ math]

[matemáticas] = \ frac {1} {\ ln \ left (a \ right)} \ left [{{a} ^ {x}} \ right] + c [/ math]