El producto vectorial (o producto cruzado) es una operación definida solo en [math] \ mathbb {R} ^ 3 [/ math] (es decir, espacio tridimensional). Geométricamente, el producto cruzado es un vector ortogonal a los dos vectores originales. Específicamente, el producto cruzado se define como:
[matemáticas] \ vec {a} \ times \ vec {b} = \ left \ langle a_ {2} b_ {3} – a_ {3} b_ {2}, a_ {3} b_ {1} – a_ {1 } b_ {3}, a_ {1} b_ {2} – a_ {2} b_ {1} \ right \ rangle [/ math]
Donde los subíndices implican la enésima posición en cada vector. Claramente, esto es algo difícil de memorizar, por lo que la definición también se puede construir utilizando determinantes. Usando el método de cofactores, podemos reescribir el producto cruzado como:
[matemáticas] \ vec {a} \ times \ vec {b} = \ begin {vmatrix} a_ {2} & a_ {3} \\ b_ {2} & b_ {3} \ end {vmatrix} \ vec {i } – \ begin {vmatrix} a_ {1} & a_ {3} \\ b_ {1} & b_ {3} \ end {vmatrix} \ vec {j} + \ begin {vmatrix} a_ {1} y a_ { 2} \\ b_ {1} & b_ {2} \ end {vmatrix} \ vec {k} [/ math]
- ¿Cuáles son las mejores herramientas de productividad para los docentes?
- ¿Cómo enseñaría John Resig JavaScript avanzado?
- Cómo enseñarle a un perro viejo nuevos trucos
- ¿Dónde puedo encontrar (realmente útiles) currículos de enseñanza prefabricados para asignaturas de negocios e inglés, de los que se beneficiarían las audiencias no occidentales?
- Cómo enseñar el tiempo pasado a niños pequeños
Lo cual es considerablemente más fácil de calcular, siempre que sepa cómo hacer determinantes. Para hacerlo, todo lo que necesita saber es que el determinante de una matriz 2 × 2 es:
[matemáticas] \ begin {vmatrix} a & b \\ c & d \ end {vmatrix} = ad-cb [/ math]
Ejemplo:
Calcule el producto vectorial (producto cruzado) de a y b donde a = [1,2,3] yb = [4,5,6].
Para resolver esto, podríamos usar la fórmula que proporcioné o usar el
determinante. Voy a suponer que es posible que aún no haya captado el determinante, y está bien, se trata del producto vectorial, así que usemos la definición.
[matemáticas] \ vec {a} \ times \ vec {b} = \ left \ langle a_ {2} b_ {3} – a_ {3} b_ {2}, a_ {3} b_ {1} – a_ {1 } b_ {3}, a_ {1} b_ {2} – a_ {2} b_ {1} \ right \ rangle [/ math]
[matemáticas] \ vec {a} \ times \ vec {b} = \ left \ langle 2 * 6 – 3 * 5, 3 * 4 – 1 * 6, 1 * 5 – 2 * 4 \ right \ rangle [/ math ]
[matemáticas] \ vec {a} \ veces \ vec {b} = \ left \ langle -3, 6, -3 \ right \ rangle [/ math]
Ahí vas. Podría trazar estos vectores y verá que, de hecho, el producto cruzado es ortogonal tanto a a como a b. 