¿Hasta qué punto puede cuestionar la utilidad de las hipótesis o restricciones probar el dominio de las matemáticas?

Esta es una muy buena pregunta.

Detrás de cualquier teorema y su prueba, siempre existen dos tipos de ideas. Primero, las ideas que son fundamentales, que en cierto sentido dan lugar a la estructura detrás del teorema / prueba. A continuación, hay ideas que son esencialmente lemas técnicos que le permiten realizar un cierto “truco” para conectar puntos.

A menudo, las ideas del primer tipo no se pueden cambiar. Por otro lado, la cuestión de si se puede cambiar alguna idea del segundo tipo (debilitada, reemplazada, evitada, etc.) requiere una gran cantidad de ingenio y una comprensión muy profunda del teorema y su prueba, para ser respondida. Sin embargo, generalmente es un ejercicio inútil pasar demasiado tiempo reflexionando sobre teoremas / pruebas conocidos, a menos que su intuición le diga que las cosas se pueden hacer de manera diferente. De lo contrario, este ejercicio equivale a redescubrir todas las matemáticas nuevamente.

Durante el viaje para convertirse en matemático, un estudiante a menudo pasará mucho tiempo reflexionando sobre algunos teoremas que elige en su subconsciente, y esto dependerá principalmente de su personalidad y su intuición.

Finalmente, no hagas este ejercicio de manera robótica, tratar de modificar cada cosa que conozcas de manera artificial no te hará ningún bien. Deja que tus ideas fluyan libremente guiadas por tu intuición.