¿La estabilidad de un sistema depende del punto operativo inicial del sistema?

Answer 1

TL; DR las condiciones iniciales no afectan la estabilidad del sistema en circuito abierto. En circuito cerrado, si evita los controladores basados ​​en la cancelación del polo cero, nuevamente no empeoran la estabilidad que su controlador le brinda.

Largo:
La función de transferencia generalmente proviene de una ecuación diferencial ordinaria con términos lineales y coeficientes constantes. Supongamos que tiene una EDO invariante de tiempo lineal simple dada por
x ” (t) = x (t) + u (t)

Su transformación de Laplace parece
s ^ 2 X (s) – sx (0) – x ‘(0) = X (s) + U (s)

Entonces podemos derivar
X (s) = 1 / (s ^ 2 + 1) U (s) + s / (s ^ 2 + 1) x (0) + 1 / (s ^ 2 + 1) x ‘(0)

= G (s) U (s) + s G (s) x (0) + G (s) x ‘(0)

donde G (s) es la función de transferencia de la entrada U (s) a la salida X (s)

Estamos acostumbrados a que la entrada al sistema sea u (t) con transformación U (s). En general, podemos determinar el efecto que cualquier entrada u (t) tiene en la salida x (t) a través de la función de transferencia X (s) / U (s) = G (s). Debido a que el sistema es lineal, podemos usar superposición e ignorar cualquier otra entrada. Esta es la parte clave. Para la ecuación anterior, x (0) y x ‘(0) actúan como entradas impulsivas de magnitud x (0) y x’ (0) respectivamente. Esto siempre es cierto. Para obtener la influencia de u (t) en x (t), podemos leer la función de transferencia de U (s) a X (s) como G (s) sin necesidad de establecer x (0) = 0, x ‘(0) = 0, y analizarlo. Sin embargo, cuando DEFINIMOS la función de transferencia de entrada a salida, para ser precisos, decimos que debe establecerlos en cero, y luego lo que obtenga es exactamente la función de transferencia G (s).

Ahora, llegando a la estabilidad. Tenga en cuenta que los polos de G (s) son los mismos que los de la función de transferencia desde cualquiera de las condiciones iniciales hasta X (s). Por lo tanto, si G (s) solo ha cerrado los polos del medio plano izquierdo, entonces también lo hace la transferencia de las condiciones iniciales a X (s). Por lo tanto, cuando tratamos x (0) y x ‘(0) como entradas impulsivas, no pueden desestabilizar el sistema más de lo que lo haría G (s). Entonces, para el caso de bucle abierto, podemos ignorar el efecto de las condiciones iniciales de forma segura, al mirar G (s).

Supongamos que queremos elegir u (t) como control de retroalimentación, por ejemplo, seguimiento de referencia. Entonces, si r (t) es una referencia, e (t) un error, tenemos
U (s) = C (s) E (s) = C (s) (R (s) – X (s)). Lo conectamos así
X (s) = G (s) U (s) + s G (s) x (0) + G (s) x ‘(0)
= G (s) C (s) (R (s) – X (s)) + s G (s) x (0) + G (s) x ‘(0)
lo que implica que

(1 + G (s) C (s)) X (s) = G (s) C (s) R (s) + s G (s) x (0) + G (s) x ‘(0)

Tenga en cuenta que en ningún momento tuve que tirar la condición inicial. Ahora, nuestra función de transferencia de bucle cerrado de REFERENCIA R (s) a la salida X (s) es
T (s) = G (s) C (s) / (1 + G (s) C (s))

Por lo general, nos atenemos a elegir controladores estables C (s), y lo diseñamos de modo que los polos de bucle cerrado de T (s) sean estables, es decir, en el medio plano izquierdo. Pero, ¿qué significa esto para las funciones de transferencia de las condiciones iniciales a X (s)? Bueno, ellos cambiaron !! Ahora estan
s G (s) / (1 + G (s) C (s)) y G (s) / (1 + G (s) C (s)) respectivamente. Si elegimos C (s) para que sean estables (sin negocio de cancelación de polo cero inestable), entonces estas funciones de transferencia deben tener el mismo conjunto de polos en el medio plano izquierdo que T (s).

De nuevo, hacer nuestro negocio tradicional de control haciendo caso omiso de las condiciones iniciales está bien, siempre que no hagamos cosas malas como cancelaciones del polo cero.

Para ver dónde falla, analice el sistema de primer orden:
x ‘(t) = x (t) + u (t)
X (s) = 1 / (s-1) U (s) + x (0) / (s-1)
C (s) = (s-1) / (s + 1) permitiría que x (0) causara problemas en la salida
C (s) = k / (s + p) para p> 1, k> p será estable desde x (0) y R (S) hasta X (s). La ganancia de CC no es 1. Puede acercarse seleccionando k >> p. k = p te da un poste en el origen.

Answer 2

La estabilidad de un sistema lineal es una característica intrínseca del sistema, que depende solo de su estructura y parámetros. Sin embargo, si el sistema no es lineal, su estabilidad puede depender también de las condiciones iniciales y de la amplitud de la señal de entrada.

Answer 3

Los polos y ceros de la función de transferencia de un proceso dan la respuesta del sistema a una entrada de impulso. Los polos y ceros básicamente caracterizan los ingredientes de la respuesta del sistema en términos de suma de exponenciales negativos.
Ahora la función de transferencia del sistema depende de las ecuaciones del espacio de estados (su transformación de Laplace). La transformada de Laplace de las ecuaciones de espacio de estado de un sistema lineal contiene el término x (0), donde x es la notación habitual utilizada en las ecuaciones de espacio de estado (variable de estado). En muchos textos, se supone que es cero, por lo que el uso de una versión tan simplificada de la función de transferencia es de hecho incompleta para el análisis de la estabilidad de los sistemas con un punto de operación distinto de cero. Debe evaluar la función de transferencia en forma completa, reemplazando x (o) con los valores adecuados. Por lo tanto, la función de transferencia que no tiene en cuenta los estados iniciales no es la función de transferencia correcta.
Pero dado que x (0) se multiplica por algunos términos (ver derivaciones) y luego se agrega a la función de transferencia ‘reducida’ que se da en los libros, ese término inicial adicional puede ignorarse si está cerca de cero.

Answer 4

NO, la estabilidad del sistema no depende de las condiciones iniciales. Ahora analicemos la parte “si no tomamos en cuenta el valor inicial al determinar la función de transferencia del sistema”. Al definir la función de transferencia de un sistema, siempre asumimos que todas las condiciones iniciales del sistema son cero. Al definir la función de transferencia de un sistema, siempre tomamos las condiciones de ese momento y asumimos esas condiciones como cero. Es como restablecer el botón del sistema.