P (x) = x ^ 3 + ax ^ 2 + bx-6. ¿Qué números son a y b si ambos (x-2) y (x + 3) son factores en P (x)?

Answer 1

No es el método más simple, pero lo que primero pensé al leer la pregunta:

Llame al tercer factor [math] \ displaystyle (x + c) [/ math] luego

[matemáticas] \ displaystyle \ begin {alineado} (x-2) (x + 3) (x + c) = \\ x ^ 3 + ax ^ 2 + bx – 6 \ end {alineado} [/ matemático]

[matemáticas] {} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle (x ^ 2 + x-6) (x + c) = \\ \ qquad x ^ 3 + ax ^ 2 + bx – 6 [/ matemáticas]

[matemáticas] {} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ begin {alineado} x ^ 3 + (c + 1) x ^ 2 + (c-6) x – 6c = \\ x ^ 3 + ax ^ 2 + bx – 6 \ end {alineado} [/matemáticas]

Como estos términos son linealmente independientes, equipare los coeficientes:

1. [matemáticas] \ displaystyle c + 1 = a [/ matemáticas]
2. [matemáticas] \ displaystyle c-6 = b [/ matemáticas]
3. [matemáticas] \ displaystyle -6c = -6 [/ matemáticas]

De 3. obtenemos [matemática] \ displaystyle c = 1 [/ matemática] por lo tanto de 2. obtenemos [matemática] \ displaystyle b = – [/ matemática] [matemática] 5 [/ matemática] y de 1. [matemática] \ displaystyle a = [/ math] [math] 2 [/ math]

Answer 2

Esta es una pregunta muy directa.

[matemáticas] \ displaystyle P (x) = x ^ 3 + ax ^ 2 + bx-6 \ tag * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle P (2) = (2) ^ 3 + a (2) ^ 2 + b (2) -6 \ tag * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle P (2) = 8 + 4a + 2b-6 \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle -2 = 4a + 2b \ etiqueta * {}… \ boxed {1} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle P (-3) = (- 3) ^ 3 + a (-3) ^ 2 + b (-3) -6 \ tag * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle P (-3) = – 27 + 9a-3b-6 \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle 33 = 9a-3b \ etiqueta * {}… \ boxed {2} [/ matemáticas]

[matemáticas] 2 \ veces \ boxed {2} +3 \ veces \ boxed {1} [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle 66-6 = 18a + 12a-6b + 6b \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle 60 = 30a \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle a = 2 \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle -2 = 4 (2) + 2b \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle -10 = 2b \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle b = -5 \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle P (x) = x ^ 3 + 2x ^ 2-5x-6 \ tag * {} [/ matemáticas]

Herramientas utilizadas:

Teorema restante: si divide un polinomio [matemático] q (x) [/ matemático] por [matemático] (xa) [/ matemático], y [matemático] (xa) [/ matemático] es un factor del polinomio, entonces tendrá el resto como [matemáticas] 0 [/ matemáticas].

[matemáticas] \ displaystyle p (x) = (xa) q (x) \ tag * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle p (a) = 0 \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

Answer 3

Si tanto [matemática] (x-2) [/ matemática] como [matemática] (x + 3) [/ matemática] son ​​factores en P (x), entonces [matemática] x = 2 [/ matemática] y [matemática] x = -3 [/ math] son ​​la raíz de P (x), lo que significa P (2) = P (-3) = 0, a saber [math] 4a + 2b + 2 = [/ math] [math] 9a -3b-33 = 0 [/ matemáticas]. Entonces [matemáticas] a = 2, b = -5 [/ matemáticas]