¿Es el campo electromagnético de las líneas eléctricas típicas lo suficientemente fuerte como para cargar dispositivos, y si es así, por qué no lo estamos haciendo?

El campo magnético alrededor de un solo cable típico puede no ser tan fuerte.

Hay un aspecto más. Si un cable transporta corriente y queremos utilizar el campo magnético que produce para realizar un trabajo significativo o aprovechar la energía de él, cargaremos más la fuente de corriente existente. Algo similar ocurre en un motor típico. Tenemos cables enrollados en una armadura que gira alrededor de un imán. El componente principal de la carga en la parte eléctrica de un motor eficiente proviene de la carga mecánica a la que está sujeto. Para más detalles, lea Fuerza contraelectromotriz

Ahora echemos un vistazo a un cable de corriente en otro nivel de abstracción.

Tenemos fuente de electricidad, digamos que en algún lugar con la compañía eléctrica que le suministra corriente, tenemos el dispositivo conectado, digamos un refrigerador, el circuito está completo, la corriente fluye constantemente y el dispositivo consume energía generada por la fuente. Ahora, la termodinámica dice que la energía producida = energía consumida + pérdidas.
Ahora, la única forma en que puede cargar el dispositivo es aprovechando este grupo de energía perdida en el proceso y, sobre todo, la cuestión es concentrarse en la energía perdida por el cable de transmisión. Estas pérdidas son, supongo (podría estar equivocado) mayormente resistivas, es decir, la resistencia del cable causa pérdidas. Dichas pérdidas son difíciles de aprovechar si el aumento de temperatura por unidad del cable no es significativo.

Los campos son muy débiles y de corto alcance. Si está parado debajo de una línea de distribución doméstica típica de 4.400 voltios, es posible que pueda tomar algunas decenas de microvatios, como máximo. Necesita millones de tiempo esa cantidad de energía para cargar un teléfono celular.