¿Cuál es la explicación más intuitiva para el concepto de polos y ceros? ¿Cómo se lo explicarías a un novato?

Answer 1

Polos

Los polos de la función de transferencia determinan las siguientes propiedades de su sistema:

• Estabilidad ,
• Rendimiento ,
• Tasa de decadencia y frecuencias de respuesta de oscilación

La estabilidad se define como la condición de que la parte real de los polos esté estrictamente en el medio plano izquierdo:

[matemáticas] \ Re \ {\ lambda \} \ leq0 [/ matemáticas] (primera condición de Lyapunov)

Observe que usé el valor propio en esta definición. Esto se debe a que los polos de la función de transferencia son los valores propios de la matriz [matemática] A [/ matemática] en la representación del espacio de estados.

Una forma de definir el rendimiento es definirlo en términos del ancho de banda de la función de transferencia. El ancho de banda está relacionado con los polos / valores propios del sistema de la siguiente manera: cuanto más “alejados” estén sus polos del origen del plano complejo, mayor será el ancho de banda del sistema. Para un sistema estable, un poste en el medio plano izquierdo (LHP) significa que su sistema tendrá una respuesta más rápida.

Ceros

Los ceros de la función de transferencia del sistema determinan la respuesta , la capacidad de control y la observabilidad del sistema . Esto se debe a que los ceros del sistema están relacionados con las matrices [math] A [/ math] y [math] B [/ math] en la representación en el dominio del tiempo. Los ceros dependen de la ubicación física de los sensores y actuadores en relación con el sistema.

Si el sistema es estable (es decir, cumple con la primera condición de Lyapunov definida anteriormente), entonces cada cero tiene un efecto específico en la respuesta de la función de transferencia. Suponga que el sistema a analizar está sujeto a una entrada escalonada. Suponga que [matemática] G (0) = 0 [/ matemática], entonces el cero del sistema acaba de darle la información de que la ganancia de CC de la [matemática] G [/ matemática] es cero.

Otro buen ejemplo que ha aparecido en los exámenes de calificación es el concepto de un cero de desacoplamiento de entrada. Es bien sabido que en los sistemas lineales un cero de desacoplamiento de entrada corresponde a un valor propio incontrolable del sistema. Para un sistema SISO, si [math] \ lambda [/ math] es tanto un cero como un valor propio (polo) del sistema, entonces [math] \ lambda [/ math] debe ser un cero de desacoplamiento de entrada.

Los ceros de desacoplamiento de entrada son valores propios incontrolables del sistema. Mientras este valor propio esté en el plano de la izquierda (y suponiendo que todos los demás valores propios sean controlables), el sistema será estable . Un sistema es estable si todos sus valores propios incontrolables son estables.

En términos generales, los ceros bloquean las señales de entrada específicas. Para una fase cero no mínima (un cero en el semiplano derecho abierto), la señal bloqueada no tiene límites.

Answer 2

Hola,

Dejando de lado las deducciones matemáticas, intentaré darle un sentido físico a esto. Es una buena pregunta.

Entonces, para un sistema físico, la respuesta de salida a entrada generalmente se estudia o analiza.
Los polos y ceros se pueden determinar fácilmente en el dominio de Laplace desde la función de transferencia del sistema y en el dominio del tiempo reflejan el comportamiento transitorio del sistema a un impulso (es decir, la entrada es un impulso).
Un polo complejo (con parte real e imaginaria, [matemática] \ neq 0 [/ matemática]) indica la presencia de una respuesta oscilatoria en el dominio del tiempo, envuelta por una función de tiempo exponencial, que puede crecer o atenuarse en el tiempo dependiendo del polo ubicación en el dominio s.
Un puramente img. el polo indica la presencia de oscilación con amplitud constante y un polo puramente real indica solo una respuesta exponencial sin oscilación.
Estas respuestas se superponen en el dominio del tiempo, en caso de que haya múltiples polos.

Si no. de ceros = no. de polos,
esto a menudo indica un sobreimpulso en la salida, pero si la función de transferencia es estrictamente adecuada, entonces la respuesta del sistema será similar al caso de múltiples polos.

Una función de transferencia estrictamente inadecuada, con más no. de ceros que de polos. Hmm .. No estoy seguro de este caso, pero una cosa de la que estoy seguro es que este sistema no puede ser robusto, ya que tales funciones de transferencia acentúan los componentes de alta frecuencia en la entrada del sistema y el ruido generalmente es de alta frecuencia.

Gracias

Answer 3

Definiciones

El término polo se puede usar para las funciones [matemáticas] f: \ mathbf R \ a \ mathbf R [/ matemáticas] de los números reales a los números reales, pero es más fácil entender de dónde proviene el término polo para funciones complejas [matemáticas ] f: \ mathbf C \ a \ mathbf C. [/ math]

Los ceros de una función son donde el valor de la función es 0. Entonces, una función [matemática] f [/ matemática] tiene un cero en [matemática] x = a [/ matemática] si [matemática] f (a) = 0 [/ matemáticas].

Los polos de una función van a ocurrir donde el valor de la función se aproxima al infinito. Entonces, una función [matemática] f [/ matemática] solo puede tener un polo en [matemática] z = a [/ matemática] si [matemática] \ displaystyle \ lim_ {z \ to a} f (z) = \ infty [ /matemáticas]. Eso significa que el gráfico [matemática] y = f (z) [/ matemática] sube bastante en [matemática] z = a [/ matemática] y parece un polo.

Si [math] f [/ math] y [math] g [/ math] son ​​recíprocos entre sí, es decir, [math] f (z) = \ dfrac1 {g (z)} [/ math], entonces el los polos de [math] f [/ math] son ​​los ceros de [math] g [/ math], y los ceros de [math] f [/ math] son ​​los polos de [math] g [/ math].

Ejemplo

Considere la función [math] f: \ mathbf C \ to \ mathbf C [/ math] definida por [math] f (z) = \ dfrac1 {z-1}. [/ Math] No puede graficar una función compleja (ya que tomaría 4 dimensiones, y vivimos en 3 espacios), pero puede graficar su valor absoluto [math] \ left | \ dfrac1 {z-1} \ right |. [/ math] Tiene un polo a la derecha a la 1.

Gráfico de un poste

Orden de un poste

Para tener cuidado, solo queremos un buen comportamiento cerca del poste. Hay funciones que tienen valores infinitos con un comportamiento terrible cerca del polo. También exigiremos que si multiplica la función por [math] (za) ^ n [/ math] para algo positivo n, entonces el polo en [math] z = a [/ math] se cancela y el producto [math] (za) ^ nf (z) [/ math] tiene un límite como [math] z \ a a, [/ math] es decir, tiene una singularidad removible.

El n más pequeño que hace eso se llama el orden del polo. Entonces, por ejemplo, [math] f (z) = \ dfrac1 {z-1} [/ math] tiene un polo en 1 del orden 1, pero [math] f (z) = \ dfrac1 {(z-1) ^ 3} [/ math] tiene un polo en 1 de orden 3.

Answer 4

Extenderé un poco sobre el aspecto geométrico como se discutió en la respuesta de David Joyce. Vea también la respuesta de mi Guido Wuyts a ¿Qué es una explicación intuitiva para polos y ceros en el plano complejo?

Porque, por supuesto, es posible imaginar y graficar una función 4D compleja. (es el tema de mis páginas QB-Complex y brolproef)

Un cero para una función compleja w = w (z) es un valor z = z0 en el plano z para el que hay un valor w = 0 en el plano w, de modo que w (z0) = 0. El punto ( z0, 0) pertenece al gráfico de funciones, y cuando z se acerca a z0 en el plano z desde todas las direcciones posibles, w se acerca a 0 en el plano w desde todas las direcciones posibles .

Un polo para una función compleja w = w (z) es un valor z = zP en el plano z, para el cual no hay valor w = wP, de modo que w (zP) = wP, porque a medida que z se acerca a z0 en la z -plano desde todas las direcciones posibles, w se está dispersando hacia el infinito en todas las direcciones posibles. Esto significa que z = zP es una asíntota para la función, que en el espacio complejo (z, w) no es un único punto (ya sea en el infinito) que pertenece al gráfico de la función, sino un plano completo que es tangente al gráfico de la función en el infinito, a lo largo de todas las direcciones posibles.

Así, los ceros determinan los puntos que pertenecen a la función gráfica. Este último es, generalmente en nuestro caso w = w (z), una superficie en el espacio (z, w), y este es un espacio 2D complejo, equivalente a un espacio real 2x2D o 4D.

En cuanto a los polos , estos determinan las asíntotas z = zP, planos paralelos al plano w (z = 0) y que son tangentes a la superficie de la función en el infinito.

¡Pero no todas las asíntotas son polos ! Es posible que una función se extienda hacia el infinito a lo largo de otros “planos” o superficies lineales, por ejemplo, paralelos al plano z (w = 0, entonces, w = constante) y “líneas rectas” w = az + b (todas las variables complejas) .

Un ejemplo típico es Circle-Hyperbola w = 1 / z (los gráficos de funciones de círculo complejo e hipérbola son las mismas superficies en una orientación diferente).
Pero para una traducción z => z-1 es la función discutida por David Joyce.
Vea mi representación 4D (y la información adicional que proporciona en comparación con los gráficos 3D habituales):

plano de la unidad z en verde, plano de la unidad w en magenta. Cuchilla blanca tangente a la asíntota (y polo, y plano w) z = 0. Hoja amarilla tangente a la asíntota y al plano z (pero sin polo) w = 0. Tanto las curvas circulares como las hipérboles forman parte de la superficie, a lo largo de diferentes orientaciones.

La función inversa w = z sería un plano a través del origen. El origen z = 0 es un cero (w = 0) para esta función, es decir, el punto (0, 0) pertenece a este plano, y es el único punto compartido entre este plano y los planos wyz.

Siguiente ejemplo, la función w = 1 / z ^ 2 tiene las mismas asíntotas que Circle-Hyperbola, pero la asíntota de polo z = 0 es de orden 2 : es una asíntota “doble”, o la función se dispersa hacia ella a lo largo de una doble cuchilla, ver:

La función inversa es la parábola w = z ^ 2 , que se aproxima al origen ” cero ” no linealmente sino cuadráticamente, ver:

Answer 5

Cualquier cosa es cero, si su numerador es estrictamente cero. Los ceros son las raíces del numerador de cualquier función de transferencia, que hará que su valor sea 0. Se llama ceros , porque su presencia hace que el sistema converja hacia el origen [o cero].

De manera similar, cualquier valor que haga cero el denominador de la función de transferencia se llama Polos. Son vitales y necesarios para el propósito del análisis, porque este polinomio en denominador generalmente representa la dinámica del sistema. Se llaman polacos , ya que tienden a divergir las trayectorias lejos del origen.

Tanto los ceros como los polos se pronuncian solo cuando se trata de la dinámica del sistema en el dominio de Laplace.

Answer 6

si amigos

considerar físicamente un amplificador CE

podemos darle una entrada con ca o cc para amplificación

supongamos que estamos dando alguna entrada Asinwt como entrada

entonces el sistema (el amplificador inyecta algo de ganancia y fase en la entrada y la salida correspondiente se da en la salida

ahora vean a Beaty cómo los sistemas de control están involucrados aquí

la función de transferencia | G (s) H (s) | del amplificador da la información sobre la cantidad de ganancia y fase

inyectado en la entrada

escriba mag y expresión de fase en la función de transferencia y sustituya w = frecuencia de la señal de entrada

por lo tanto, las salidas se pueden predecir

Answer 7

Simplemente explicaría cómo ocurren inversos en todas partes en física, por ejemplo, a medida que la resistencia disminuye, el flujo de corriente aumenta. Entonces los polos son simplemente los ceros de la inversa.