¿Cuál es la raíz cuadrada de i & -i?

Answer 1

Raíz cuadrada de i = [matemáticas] \ pm \ frac {1} {\ sqrt {2}} (1-i) [/ matemáticas]

Raíz cuadrada de -i = [matemáticas] \ pm \ frac {1} {\ sqrt {2}} (1 \ mp i) [/ matemáticas]

Premisa:

i y -i son números imaginarios ( I ), que son números complejos ( C ), que tienen la forma a + bi, donde i es la raíz cuadrada de -1, lo que significa [matemáticas] i ^ 2 = -1, i ^ 3 = -i, i ^ 4 = 1. [/ matemáticas]

a, o la parte real, puede ser 0, negativa o positiva. Lo mismo para b, o la parte imaginaria.

Los números reales y los números imaginarios son subconjuntos de números complejos. En números reales, b = 0. En números imaginarios, b no es igual a cero. Como tal, nuestra respuesta será un número complejo y podemos suponer que tiene la forma de a + bi, lo cual lo haremos, por lo que es más fácil.

para i, a = 0, b = 1.

para -i, a = 0, b = -1.

La definición de “la raíz cuadrada de i” es que este número, cuando se multiplica por sí mismo, es i. Esto significa que si el número que estamos buscando es [matemática] p [/ matemática], entonces [matemática] p * p = i, [/ matemática] o [matemática] p ^ 2 = i. [/matemáticas]

Ahora, p es un número, por lo que puede representarse como a + bi. Digamos a = x, y b = y.

entonces, [matemáticas] p ^ 2 = [/ matemáticas] [matemáticas] (x + yi) ^ 2 = x ^ 2 – y ^ 2 + 2xyi [/ matemáticas], o [matemáticas] (x ^ 2 – y ^ 2 ) + (2xy) i [/ math] que es un número complejo de parte real [math] (x ^ 2 – y ^ 2) [/ math] y parte imaginaria [math] (2xy). [/ Math]

Esto también es igual a 0 + 1i o 0–1i según la pregunta.

Solución: Dado que estos dos números complejos son iguales, las partes reales y las partes imaginarias de ambos tienen que ser iguales, de lo contrario, si resta uno del otro, habrá una diferencia.

Entonces, ahora tomemos los dos casos, y obtendremos un montón de ecuaciones de dos variables que podemos resolver para obtener los valores de x e y, y por lo tanto, la representación de las raíces cuadradas de i y -i.

[matemáticas] x ^ 2 – y ^ 2 = 0 [/ matemáticas]

lo que implica, [matemáticas] x ^ 2 = y ^ 2 [/ matemáticas]

o, [matemáticas] x = \ pm y [/ matemáticas]

Si [matemáticas] 2xy = 1 [/ matemáticas]

(es decir, estamos viendo la raíz cuadrada de i)

o bien x e y son positivos o ambos x e y son negativos.

Entonces, [matemáticas] 2x ^ 2 = 1 [/ matemáticas]

o [matemáticas] x = \ pm \ frac {1} {\ sqrt {2}} [/ matemáticas]

e y es igual a x.

Esto significa que la raíz cuadrada de i es [matemáticas] \ pm \ frac {1} {\ sqrt {2}} + \ pm \ frac {1} {\ sqrt {2}} i [/ matemáticas] o [matemáticas] \ pm \ frac {1} {\ sqrt {2}} (1-i) [/ math]

(Lo he presentado de esta manera para que sea más fácil cuadrar todo para hacer la verificación de cordura)

Ahora, si [matemáticas] 2xy = -1 [/ matemáticas]

(es decir, estamos viendo la raíz cuadrada de -i)

x es + ve e y es -ve o viceversa.

y esto significa x = -y.

Eso significa que la raíz cuadrada de -i es [matemáticas] \ pm \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ mp \ frac {1} {\ sqrt {2}} i [/ matemáticas]

O, [matemáticas] \ pm \ frac {1} {\ sqrt {2}} (1 \ mp i) [/ matemáticas]

Answer 2

Resolvamos esto por raíces cuadradas de números complejos.

i = 0 + i

Deje √0 + i = x + yi

Tomando cuadrados s en ambos lados que obtenemos,

0 + i = x ^ 2 + 2xyi -y ^ 2…. (I ^ 2 = -1)

0 + i = (x ^ 2-y ^ 2) + 2xyi

Por igualdad de números complejos obtenemos

x ^ 2-y ^ 2 = 0

x = y

Del mismo modo, 2xy = 1

2x ^ 2 = 1

x ^ 2 = 1/2

x = ± 1 / √2

Del mismo modo, para √-i

2x ^ 2 = -1

x ^ 2 = -1 / 2

x = i / √2

Como x = y

√i = x + yi

√i = ± 1 / √2 ± 1 / √2i

Del mismo modo, √-i = i / √2 + (i / √2) i

= (1 / √2) i -1 / √2

= -1 / √2 + (1 / √2) i

Answer 3

[matemáticas] i = \ sqrt {-1} = \ cos (\ frac {\ pi} {2}) + i \ sin (\ frac {\ pi} {2}) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica \ sqrt {i} = (\ cos (\ frac {\ pi} {2}) + i \ sin (\ frac {\ pi} {2})) ^ {\ frac {1} {2 }}[/matemáticas]

[matemáticas] \ implica \ sqrt {i} = (\ cos (2n \ pi + \ frac {\ pi} {2}) + i \ sin (2n \ pi + \ frac {\ pi} {2})) ^ {\ frac {1} {2}} [/ matemática] donde [matemática] n = 0, 1, 2,… [/ matemática]

[matemáticas] \ implica \ sqrt {i} = (\ cos (n \ pi + \ frac {\ pi} {4}) + i \ sin (n \ pi + \ frac {\ pi} {4}) [/ matemáticas]

Entonces, para [matemáticas] n = 0 [/ matemáticas], tenemos

[matemáticas] \ sqrt {i} = (\ cos (\ frac {\ pi} {4}) + i \ sin (\ frac {\ pi} {4}) [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ frac {1} {\ sqrt {2}} (1 + i) [/ matemáticas]

y para [matemáticas] n = 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ sqrt {i} = (\ cos (\ pi + \ frac {\ pi} {4}) + i \ sin (\ pi + \ frac {\ pi} {4}) [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ frac {-1} {\ sqrt {2}} (1 + i) [/ matemáticas]

Entonces, [matemáticas] \ sqrt {i} = \ frac {\ pm 1} {\ sqrt {2}} (1 + i) [/ matemáticas]

Similar,

[matemáticas] \ sqrt {-i} = \ frac {\ pm 1} {\ sqrt {2}} (1 – i) [/ matemáticas]