Parece que está asumiendo que un espacio vectorial complejo de alguna manera viene con algo de geometría intrínseca, y que un producto interno hermitiano (no ‘el’, ya que no son únicos) está de alguna manera determinado por esto. Probablemente sea mejor pensarlo al revés. Es decir, si tiene un espacio vectorial, ponerle un producto interno (Hermitiano o no) es darle a su espacio algo de geometría. Nociones como la ortogonalidad ni siquiera existen sin un producto interno. Aquí hay un ejemplo que esperamos aclare esto. Sea V el espacio vectorial de polinomios complejos. ¿Qué significa que dos polinomios sean ortogonales? Hasta ahora, esto no tiene ningún sentido. Pero si equipamos a V con el siguiente producto interno (hermitiano):
[matemáticas] \ langle p_1, p_2 \ rangle: = \ int_0 ^ 1 p_1 (z) \ overline {p_2 (z)} \ dz [/ math]
entonces tenemos una noción de ortogonalidad.
En cuanto a la visualización, realmente no tengo una buena respuesta. Lo mejor que podemos hacer realmente es visualizar espacios vectoriales reales en 1, 2 o 3 dimensiones, y tratar de ganar intuición a partir de eso. (Al menos, eso es lo mejor que puedo hacer). Intentar visualizar algo como un espacio vectorial complejo de 10 dimensiones con algún producto interno extraño parece irrazonable.