Espero que esto no sea para una pregunta de tarea 🙂
La respuesta es: [matemáticas] \ Sigma_ {x, x} = (A ^ TA) ^ {- 1} A ^ T \ Sigma_ {b, b} A (A ^ TA) ^ {- 1} [/ matemáticas] .
Derivación:
Deje [math] b \ sim (\ mu_b, \ Sigma_ {b, b}) [/ math], y deje que la matriz de proyección ortogonal sea [math] H = (A ^ TA) ^ {- 1} A ^ T [ /matemáticas]. Recuerde que la solución de mínimos cuadrados está dada por [matemáticas] x = Hb [/ matemáticas]. Entonces
[matemáticas] \ Sigma_ {x, x} = E [(X – E [X]) (XE [X]) ^ T)] [/ matemáticas]
[matemáticas] = E [(Hb – H \ mu_b) (Hb – H \ mu_b) ^ T] [/ matemáticas]
[matemáticas] = E [H (b – \ mu_b) (b – \ mu_b) ^ TH ^ T] [/ matemáticas]
[matemáticas] = HE [(b – \ mu_b) (b – \ mu_b ^ T)] H ^ T [/ matemáticas]
[matemáticas] = H \ Sigma_ {b, b} H ^ T [/ matemáticas].
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Tenga en cuenta que usé los hechos:
[matemáticas] E [AXB] = AE [X] B [/ matemáticas],
[matemáticas] (A ^ {- 1}) ^ T = (A ^ T) ^ {- 1} [/ matemáticas].
Ahora la verdadera pregunta es: ¿cuándo va a surgir esto en la vida real?