Con respecto a las matrices, ¿cómo puede probar que si A tiene un inverso que A al cuadrado también tiene un inverso?

Answer 1

Más explícitamente:
Suponga que [matemática] A [/ matemática] tiene una inversa [matemática] A ^ {- 1} [/ matemática].
Para mostrar [matemática] A ^ {- 1} A ^ {- 1} [/ matemática] es el inverso de [matemática] A ^ 2 = AA [/ matemática] podemos mostrar que multiplicando en el lado izquierdo y derecho de [matemática] A ^ 2 [/ matemática] produce la matriz de identidad [matemática] I [/ matemática]:

Esto nos da:
[matemáticas] A ^ {- 1} A ^ {- 1} AA = A ^ {- 1} (A ^ {- 1} A) A = A ^ {- 1} IA = A ^ {- 1} A [ / matemáticas] [matemáticas] = I [/ matemáticas]
y:
[matemáticas] AAA ^ {- 1} A ^ {- 1} = A (AA ^ {- 1}) A ^ {- 1} = A IA ^ {- 1} = AA ^ {- 1} [/ matemáticas] [matemáticas] = I [/ matemáticas]

Por lo tanto, [math] A ^ {- 1} A ^ {- 1} [/ math] es el inverso de [math] A ^ 2 [/ math] siempre que [math] A [/ math] tenga un inverso [ math] A ^ {- 1} [/ math] ya que hemos definido explícitamente cuál sería la inversa de [math] A ^ 2 [/ math].

Answer 2

El determinante es multiplicativo: si [matemática] \ matemática {det} A \ neq 0 [/ matemática] entonces [matemática] \ matemática {det} (A ^ 2) = (\ matemática {det} A) ^ 2 \ neq 0 .[/matemáticas]

Answer 3

Si [math] A ^ {- 1} [/ math] es el inverso [math] A [/ math], entonces [math] A ^ {- 1} A ^ {- 1} [/ math] es el inverso de [matemáticas] AA = A ^ 2 [/ matemáticas]. ¿No?