“No lo usaría (la matriz inversa) para resolver sistemas lineales”.
Por qué no? Dependiendo de la situación, esto puede o no ser exactamente lo que haría. Por ejemplo, suponga que tiene un conjunto de 1,000 ecuaciones lineales en 1,000 variables donde los coeficientes son fijos pero el lado derecho varía, y necesita resolver rápidamente millones de instancias de este problema (“instancia” solo significa un derecho diferente- lado). En este caso, invertirías la matriz de coeficientes de una vez por todas. Luego, con cada instancia, multiplique la matriz invertida por el vector de columna RHS y listo.
Muchos sistemas de la vida real son lineales en el sentido de que algunas variables de salida dependen linealmente de algunas variables de entrada. A veces, la dependencia real no es del todo lineal, pero usamos una aproximación lineal para hacer las cosas más manejables. La mecánica (o física) de tales sistemas a menudo determina cómo la salida depende de la entrada, y a veces es necesario revertir el proceso y descubrir cuáles fueron las entradas para una salida observada dada. Así es como la situación que describí anteriormente puede surgir “en la vida real”.
Aquí hay otro ejemplo. Dada una matriz, a menudo es beneficioso encontrar una similar que represente la misma transformación lineal en una base diferente. Un caso típico es la diagonalización: se le da una matriz desordenada y al cambiar de base, hace que consista en todos los 0 excepto o algunas cosas a lo largo de la diagonal. Si necesita calcular las potencias de una matriz, por ejemplo, definitivamente esto es lo que debe hacer.
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Ahora, cambiar una matriz es básicamente reemplazar [matemática] A [/ matemática] con [matemática] PAP ^ {- 1} [/ matemática] donde [matemática] P [/ matemática] es la matriz de “cambio de base” que describe cómo uno La base depende de la otra. Como puede ver, también necesita el inverso de [math] P [/ math] para “volver” a la base original. Ahora, dependiendo de cómo implemente el proceso, es posible que pueda calcular [matemáticas] P [/ matemáticas] y su inverso simultáneamente, pero independientemente del proceso inherentemente se basa en el concepto de matriz inversa.