Los vectores propios del Laplaciano de un gráfico le indican cómo se ven las ondas estacionarias o los modos vibratorios en el gráfico, y los valores propios le indican a qué frecuencias vibran.
Recuerda que las ondas de luz, las ondas de sonido y el tipo de ondas que obtienes si haces vibrar una cuerda son todas soluciones de la ecuación de onda, que escribiré como
[matemática] \ frac {\ parcial ^ 2 u} {\ parcial ^ 2 t} = \ Delta u [/ matemática]
donde [math] u [/ math] describe la altura de la ola en un punto y tiempo dados y [math] \ Delta [/ math] es el operador de Laplace
- Suponga que [math] \ mathbb {M} (n, R) [/ math] representa una clase de matrices cuadradas. Entonces el subconjunto S de [math] \ mathbb {M} (n, R) [/ math] tal que el valor absoluto de los valores propios de las matrices es menor o igual a 2. ¿S forma un espacio conectado?
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[math] \ Delta = \ frac {\ partial ^ 2} {\ partial x_1 ^ 2} +… + \ frac {\ partial ^ 2} {\ partial x_n ^ 2}. [/ math]
El operador de Laplace mide cuánto difiere una función en un punto del promedio de los valores de la función sobre pequeñas esferas centradas en ese punto. Como resultado, el laplaciano de un gráfico hace algo completamente análogo: es decir, mide cuánto difiere una función en un gráfico en un vértice del promedio de los valores de la función sobre los vecinos del vértice.
Esto hace posible configurar una “ecuación de onda” en un gráfico, que se ve exactamente como la anterior (ahora [math] u [/ math] es una función en el conjunto de vértices del gráfico junto con una variable de tiempo). Si escribe una secuencia de gráficos que se aproxima, por ejemplo, a la línea real, obtendrá una secuencia de “ecuaciones de onda discretas” cuyas soluciones aproximan las soluciones a la ecuación de onda en la línea real. (Puede verificar esto calculando realmente los vectores propios y los valores propios de la gráfica de Laplacian de una Ruta).
La ecuación de onda en un gráfico finito es realmente fácil de resolver: si el Laplaciano tiene vectores propios [matemática] v_i [/ matemática] con valores propios [matemática] \ lambda_i [/ matemática], entonces todas las soluciones son combinaciones lineales de las soluciones de onda estacionaria
[matemáticas] u (x, t) = e ^ {\ sqrt {\ lambda_i} t} v_i (x) [/ matemáticas]
¡y estas son solo ondas con una forma determinada por [math] v_i [/ math] que vibra a una frecuencia determinada por [math] \ lambda_i [/ math]! (Los valores propios del Laplaciano siempre son no negativos, por lo que [math] \ sqrt {\ lambda_i} [/ math] será puramente imaginario. Consulte la fórmula de Euler si no está familiarizado con los exponenciales complejos).
Puede ver algunas visualizaciones excelentes de ondas estacionarias en un disco aquí: vibraciones de una membrana circular