¿Cuál es la explicación conceptualmente más clara de un producto Scalar / Inner / Dot?

Para mantener esto claro, voy a restringir mi atención a los espacios vectoriales reales, donde cada elemento es su propio conjugado. Las ideas básicas son exactamente las mismas en espacios vectoriales complejos, pero hay que prestar un poco más de atención a los detalles y, como resultado, la intuición puede perderse.

OKAY. Por lo tanto, queremos asignar una magnitud [matemática] || \ vec {x} || [/ matemática] a cada punto [matemática] \ vec {x} \ en \ mathbb {R} ^ n [/ matemática]. Para que esto sea una noción razonable de magnitud, vamos a pedirle que tenga tres propiedades:

[matemáticas] || \ alpha \ vec {x} || = | \ alpha ||| \ vec {x} || [/ math] para cada escalar [math] \ alpha [/ math].
[matemáticas] || \ vec {x} + \ vec {y} || \ leq || \ vec {x} || + || \ vec {y} || [/ math] para todos los pares [math] \ vec {x} [/ math], [math] \ vec {y} [/ math].
[matemáticas] || \ vec {x} || = 0 [/ matemática] si y solo si [matemática] \ vec {x} = \ vec {0} [/ matemática].

Sabemos por el teorema de Pitágoras que la distancia al cuadrado entre un punto [math] \ vec {x} = (x_1, x_2, \ dots, x_n) [/ math] y el origen viene dado por [math] x_1 ^ 2 + x_2 ^ 2 + \ puntos + x_n ^ 2 [/ matemática]. Esto parece una noción de magnitud bastante razonable, y satisface las propiedades anteriores, así que vamos a tomarlo y ejecutarlo. Si representamos [math] \ vec {x} [/ math] como una matriz [math] n \ times 1 [/ math], esta distancia al cuadrado viene dada por el producto [math] \ vec {x} ^ T \ vec {x} [/ matemáticas].

A partir de esto, podríamos comenzar a preguntarnos qué sucede si miramos el producto [math] \ vec {x} ^ T \ vec {y} [/ math], que llamaremos el producto punto. Esto puede parecer un poco complicado, pero en realidad solo depende de dos dimensiones, por lo que podemos dibujar una imagen que consista en el plano atravesado por [math] \ {\ vec {x}, \ vec {y} \} [/ math ] Si lo hace, descubrirá que esta cantidad tiene buenas interpretaciones geométricas en términos del ángulo entre [math] \ vec {x} [/ math] y [math] \ vec {y} [/ math], y la proyección de cualquier vector sobre el otro (lo cual es muy bien explicado por Jesse Farmer).

Ahora pensemos en un espacio vectorial donde no tenemos una noción de geometría. Tomemos el ejemplo clásico de todas las funciones continuas de valor real en el intervalo [matemáticas] [0, 1] [/ matemáticas]. Aquí podemos definir la norma al cuadrado de un punto [matemática] f [/ matemática] como [matemática] || f || ^ 2 = \ sqrt {\ int_0 ^ 1 f (x) ^ 2 ~ \ mathrm {d} x} [/ math] por analogía con el teorema de Pitágoras en el caso de dimensión finita (y debe verificar que esto sea una norma). Es muy natural mirar el equivalente del producto escalar, que viene dado por [math] \ langle f, g \ rangle = \ int_0 ^ 1 f (x) g (x) ~ \ mathrm {d} x [/ matemáticas]. Si esto se comportó como el producto escalar en el espacio finito, entonces podríamos imponer una geometría en este espacio de funciones definiendo las cantidades apropiadas para que sean lo que serían en el caso de dimensión finita.

Entonces, ¿qué significa que algo se comporte como el producto punto? Bueno, hay tres propiedades que nos gustaría tener:

[matemáticas] \ langle f, g \ rangle = \ langle g, f \ rangle [/ math].
[matemática] \ langle \ alpha f + \ beta g, h \ rangle = \ alpha \ langle f, h \ rangle + \ beta \ langle g, h \ rangle [/ math] para cualquier escalar [math] \ alpha [/ matemáticas] y [matemáticas] \ beta [/ matemáticas].
[math] \ langle f, f \ rangle \ geq 0 [/ math] con igualdad si y solo si [math] f \ equiv 0 [/ math].

La integral del producto definida tiene estas propiedades, y resulta que definir una geometría basada en ella le da algo que se comporta “exactamente como cabría esperar”. Una de mis curiosidades favoritas que surge de mirar la geometría en espacios de productos internos arbitrarios es que la fórmula para la varianza de la diferencia de dos variables aleatorias independientes es solo la ley de los cosenos vestidos para el espacio vectorial apropiado.

Esa es la idea detrás de un producto interno: nos permite tomar nociones familiares de geometría en el espacio euclidiano y las generaliza de una manera agradable a espacios vectoriales arbitrarios.

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¿Podemos comparar matrices? Si AB> 0 es positivo definido, ¿podemos decir A> B?

\ vec {x} || [/ math] para cada escalar [math] \ alpha [/ math].

[matemáticas] || \ vec {x} + \ vec {y} || \ leq || \ vec {x} || + || \ vec {y} || [/ math] para todos los pares [math] \ vec {x} [/ math], [math] \ vec {y} [/ math].

[matemáticas] || \ vec {x} || = 0 [/ matemática] si y solo si [matemática] \ vec {x} = \ vec {0} [/ matemática].

Entonces, ¿qué significa que algo se comporte como el producto punto? Bueno, hay tres propiedades que nos gustaría tener:

[matemáticas] \ langle f, g \ rangle = \ langle g, f \ rangle [/ math].
[matemática] \ langle \ alpha f + \ beta g, h \ rangle = \ alpha \ langle f, h \ rangle + \ beta \ langle g, h \ rangle [/ math] para cualquier escalar [math] \ alpha [/ matemáticas] y [matemáticas] \ beta [/ matemáticas].
[math] \ langle f, f \ rangle \ geq 0 [/ math] con igualdad si y solo si [math] f \ equiv 0 [/ math].

Justin Rising

La idea de una proyección es bastante fácil de entender: es como una sombra. Voy a describir esto con palabras, lo cual es subóptimo, pero trato de imaginarlo. Coloque su brazo derecho a lo largo del borde de una mesa, paralelo a su torso. Toque su mano derecha con su codo izquierdo y coloque su brazo izquierdo en un ángulo de 45º con respecto a su brazo derecho.

Tus dos brazos son como vectores. Imagina una linterna sentada sobre ambos brazos, descansando sobre la mesa y apuntando directamente a tu torso. La proyección de su brazo izquierdo sobre su brazo derecho es el vector representado por la sombra que proyecta su brazo izquierdo sobre su brazo derecho.

El producto punto del vector unitario a lo largo de su “brazo derecho” y su vector “brazo izquierdo” será la longitud de la sombra proyectada por esa luz. Entonces, el producto punto no es la proyección per se , sino el componente de magnitud de esa proyección.

¿Por qué? Recuerde que [math] \ cos \ theta [/ math] es la relación del lado adyacente a ese ángulo en un triángulo rectángulo y la hipotenusa del triángulo. La longitud del lado adyacente es precisamente la longitud de la sombra.

Aquí “A” es tu brazo izquierdo, “B” es tu brazo derecho, “| A |” es la longitud de su brazo izquierdo, y la línea punteada es el borde de la sombra proyectada por su brazo izquierdo desde la linterna.

Esto no te lleva al producto de punto completo. Realmente estamos tomando el producto de punto de A y el vector de unidad a lo largo de B. Pero no es demasiado difícil pasar del producto de punto que se define solo para un vector no unitario y uno de unidad a uno definido para dos vectores arbitrarios. Ver http://en.wikipedia.org/wiki/Dot …

Michael Stevenson

Gracias por el A2A.

Aquí hay algunas respuestas realmente buenas, así que en lugar de profundizar demasiado en la definición matemática de la respuesta, ¡voy a hacerte una pregunta! (Pero luego voy a responder)

¿Qué es 2 multiplicado por 3? Usemos también la notación de puntos aquí:

[matemáticas] (2) \ cdot (3) =? [/ matemáticas]

Y con facilidad, ¡dirás que es 6 y estarás en lo correcto!

¿Qué sucede si reemplacé 2 con [matemáticas] 1 \ vec i + 2 \ vec j [/ matemáticas] y 3 con [matemáticas] 3 \ vec i + 4 \ vec j [/ matemáticas]? (Sutil pero importantemente manteniendo la notación de puntos)

Esperar lo. Pero estos son vectores. ¡Tienen magnitud y dirección! Entonces, ¿cómo lidiamos con eso?

Es posible que haya aprendido que simplemente multiplica los componentes del vector y luego los suma para que la respuesta a lo anterior sea:

[matemáticas] (1 \ vec i + 2 \ vec j) \ cdot (3 \ vec i + 4 \ vec j) [/ matemáticas]

[matemáticas] = (1 \ vec i \ cdot 3 \ vec i) + (2 \ vec j \ cdot 4 \ vec j) [/ matemáticas]

[matemáticas] = (1 \ cdot 3) \ cdot (\ vec i \ cdot \ vec i) + (2 \ cdot 4) \ cdot (\ vec j \ cdot \ vec j) [/ math]

[matemáticas] = (3) \ cdot (1) + (8) \ cdot (1) [/ matemáticas]

[matemáticas] = 11 [/ matemáticas]

Genial … Entonces … ¿Qué significa eso?

Permítanme señalar primero que estas operaciones matemáticas que está aprendiendo son herramientas. Le ayudan a desarrollar ideas matemáticas e implementar su lógica para que pueda resolver un problema.

Si la pregunta anterior era, ¿cuál es el ángulo entre los siguientes dos vectores? Entonces podría usar la identidad de que el producto de puntos vectoriales es igual a una combinación de magnitudes y direcciones:

[matemáticas] \ vec a \ cdot \ vec b = | \ vec a || \ vec b | cos \ theta [/ math]

θ representa el ángulo entre los dos vectores si los imagina comenzando desde el mismo punto en el espacio y extendiéndose hacia sus respectivas direcciones vectoriales, que es exactamente lo que queremos. Aplicando esto al caso anterior, si:

[matemáticas] \ vec a = 1 \ vec i + 2 \ vec j [/ matemáticas]

[matemáticas] \ vec b = 3 \ vec i + 4 \ vec j [/ matemáticas]

Entonces, sus magnitudes son:

[matemáticas] | a | = \ sqrt {1 ^ 2 + 2 ^ 2} = \ sqrt 5 [/ matemáticas]

[matemáticas] | b | = \ sqrt {3 ^ 2 + 4 ^ 2} = \ sqrt 25 = 5 [/ matemáticas]

Usando el resultado anterior de que su producto punto es igual a 11:

[matemáticas] \ vec a \ cdot \ vec b = 11 = 5 \ sqrt 5 cos \ theta [/ matemáticas]

[matemáticas] cos \ theta = \ frac {11} {5 \ sqrt 5} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ theta = 0.1799 [/ matemáticas] rad

O para quienes trabajan en grados:

[matemáticas] \ theta = 10.30 ^ \ circ [/ matemáticas]

Ok, genial! ¡Entonces ahora sabemos cuál es el ángulo entre las direcciones del vector!

¿Cómo se relaciona eso con la “proyección”? Pensemos en lo que sucedería si giramos nuestra vista de modo que b ahora esté horizontal en nuestro marco.

Si pudiera dibujar una línea vertical en el nuevo marco, desde la punta del vector a hasta que se cruza con el vector b , la longitud desde el comienzo de b hasta ese punto sería igual al producto escalar dividido por la magnitud de a .

¿Por qué? Porque sabemos que:

[matemáticas] \ vec a \ cdot \ vec b = | \ vec a || \ vec b | cos \ theta [/ math]

Asi que, por lo tanto:

[matemáticas] \ frac {\ vec a \ cdot \ vec b} {| \ vec b |} = | \ vec a | cos \ theta [/ math]

Lo que puede ser familiar para usted si ha resuelto una línea inclinada en sus componentes horizontal y vertical.

¡Así que ahora puedes hacer muchas cosas! Puede encontrar el ángulo que forma un vector con un eje punteando un vector con un vector de eje de coordenadas de unidad, puede aplicar esto al cálculo y hacer integrales de bucle cerrado, puede usarlo para resolver las ecuaciones de Maxwell para ver cómo predice la luz. ecuación de continuidad para ayudarlo a resolver posibles problemas de flujo. La lista continua.

Las matemáticas son interesantes.

Brando Miranda

Sin ninguna fórmula, intentemos responder a esta pregunta, no tratando de comprender conceptualmente qué es un producto punto / interior / escalar, sino entendiendo lo que hace. Dentro de un espacio vectorial (o un espacio interno del producto) considere entretener la noción de que hay poco que sea inherentemente natural en el producto punto. Piense en ello como una herramienta conceptual. El producto interno no es solo una ‘cosa’. Es cualquier operación que cumple con un conjunto específico de criterios. En consecuencia, debido a que cumple con esos criterios, cuando toma el producto interno de dos elementos, le dice algo sobre ellos. El producto interno se definió esencialmente de tal manera que, si el resultado de multiplicar dos elementos es cero, entonces sabes que esos dos elementos son ortogonales. Los elementos ortogonales dentro de un espacio son realmente interesantes porque esencialmente se ejecutan a lo largo de dimensiones completamente separadas dentro del espacio. Conceptualmente, esta es una de las interpretaciones / usos más fundamentales de los productos internos.

Justin Rising

En primer lugar, su deducción de la proyección del vector B sobre A no es correcta. Es la proyección B sobre A multiplicada por el módulo del vector A. Quizás no sea la mejor definición. Existe una definición muy general de vectores en matemáticas y, respectivamente, para productos de punto

Espacio vectorial

Pero limitando los vectores libres en un espacio euclidiano, hay 2 definiciones que son equivalentes.

Pero no es fácil llegar que ambas definiciones son equivalentes

Brando Miranda

La proyección de B en A es una forma de decirlo, para mí personalmente entiendo mejor el producto punto cuando lo considero como componentes. Cuando haces AB con dos vectores, estás encontrando la magnitud del vector A que está en la dirección del vector B.

Por ejemplo, si punteo producto del vector A con un vector B, el siguiente diagrama muestra físicamente lo que representa nuestra respuesta. Qué tan lejos va el vector A en la dirección del vector B.

Esta es también la razón por la que si puntea el producto en dos vectores perpendiculares obtendrá cero.

Alex Sadovsky

[matemáticas] \ renovarcomando {\ vec} [1] {\ mathsf {# 1}} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ newcommand \ inner [2] {\ langle # 1, # 2 \ rangle} [/ math]

Un producto interno [math] \ inner {\ vec {a}} {\ vec {b}} [/ math] en un espacio vectorial real es una operación binaria en vectores con las siguientes propiedades:

Tiene un valor real [matemática] \ inner {\ vec {a}} {\ vec {b}} \ in \ mathbb {R} [/ math]
Es conmutativo [matemático] \ inner {\ vec {a}} {\ vec {b}} = \ inner {\ vec {b}} {\ vec {a}} [/ math]
Es bi-lineal

[matemáticas] \ inner {a \ vec {a}} {\ vec {b}} = a \ inner {\ vec {a}} {\ vec {b}} [/ math]
[matemáticas] \ inner {\ vec {a}} {b \ vec {b}} = b \ inner {\ vec {a}} {\ vec {b}} [/ math]
[matemáticas] \ inner {\ vec {a} + \ vec {b}} {\ vec {c}} = \ inner {\ vec {a}} {\ vec {c}} + \ inner {\ vec {b }} {\ vec {c}} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ inner {\ vec {a}} {\ vec {b} + \ vec {c}} = \ inner {\ vec {a}} {\ vec {b}} + \ inner {\ vec {a }} {\ vec {c}} [/ matemáticas]

Es “definitivo positivo”

[matemáticas] \ interior {\ vec {a}} {\ vec {a}} \ geq 0 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ interior {\ vec {a}} {\ vec {a}} = 0 \ iff \ vec {a} = \ vec {0} [/ matemáticas]

Dado que el concepto de vector es particularmente amplio (no se limita a cosas con una magnitud y dirección), esta definición también es particularmente amplia. Esencialmente, cualquier operación en vectores que cumplan con estas reglas cuenta como un producto interno, y para un espacio vectorial dado, puede haber muchos productos internos posibles.

El producto interno es muy general, pero le permite definir conceptos importantes que son útiles en otras cosas:

Dos vectores son ortogonales o perpendiculares si su producto interno es cero [math] \ inner {\ vec {a}} {\ vec {b}} = 0 [/ math]
Un vector tiene una magnitud o norma de [matemáticas] || \ vec {a} || = \ sqrt {\ inner {\ vec {a}} {\ vec {a}}} [/ math], que, dado que el producto interno es positivo definido, es un número real positivo.
Un vector tiene una normalización de [math] \ vec {\ hat {a}} = \ frac {\ vec {a}} {|| \ vec {a} ||} [/ math]. Es fácil ver que [matemáticas] || \ vec {\ hat {a}} || = 1 [/ matemática] y [matemática] \ vec {a} = || \ vec {a} || \ vec {\ hat {a}} [/ matemática]. El vector normalizado [matemáticas] \ vec {\ hat {a}} [/ matemáticas] también se llama un vector unitario porque su norma es 1.
Una base para el espacio vectorial, [math] (\ vec {a_1}, \ ldots, \ vec {a_n}) [/ math] se llama ortonormal si tiene [math] \ inner {\ vec {a_i}} {\ vec {a_j}} = 0 [/ matemática] if [matemática] i \ neq j [/ matemática] y [matemática] \ inner {\ vec {a_i}} {\ vec {a_i}} = 1 [/ matemática]. De lo contrario, dos vectores de base diferentes son ortogonales entre sí, y cada vector es un vector unitario.

El último llega a la forma en que se calcula comúnmente el producto interno. Una de las propiedades de una base de un espacio vectorial [math] (\ vec {e_1}, \ ldots, \ vec {e_n}) [/ math], cualquier vector [math] \ vec {b} [/ math] puede estar representado de manera única por la combinación lineal [matemáticas] \ vec {b} = b_1 \ vec {e_1} + \ cdots + b_n \ vec {e_n} [/ matemáticas]. Eso significa que (usando un ejemplo bidimensional para guardar la escritura) que un producto interno de dos vectores [math] \ vec {a}, \ vec {b} [/ math] se calcularía así:

[matemáticas] \ begin {align} \ inner {\ vec {a}} {\ vec {b}} & = \ inner {a_1 \ vec {e_1} + a_2 \ vec {e_2}} {b_1 \ vec {e_1} + b_2 \ vec {e_2}} \\ & = \ inner {a_1 \ vec {e_1}} {b_1 \ vec {e_1}} + \ inner {a_1 \ vec {e_1}} {b_2 \ vec {e_2}} + \ inner {a_2 \ vec {e_2}} {b_1 \ vec {e_1}} + \ inner {a_2 \ vec {e_2}} {b_2 \ vec {e_2}} \\ & = a_1b_1 \ inner {\ vec {e_1} } {\ vec {e_1}} + a_1b_2 \ inner {\ vec {e_1}} {\ vec {e_2}} + a_2b_1 \ inner {\ vec {e_2}} {\ vec {e_1}} + a_2b_2 \ inner {\ vec {e_2}} {\ vec {e_2}} \ end {align} [/ math]

Si la base es ortonormal, entonces los productos internos de los vectores básicos en esa última línea se convierten en 1 o 0, y terminas con [math] \ inner {\ vec {a}} {\ vec {b}} = a_1b_1 + a_2b_2 [/ math], que es cómo se enseña típicamente el producto punto.

Esto también lleva al concepto de un producto de punto relacionado con las proyecciones. Lo que desea cuando proyecta [math] \ vec {a} [/ math] en [math] \ vec {b} [/ math] es un vector [math] a \ vec {a_b} = a_b \ vec {b} [/ math] tal que [math] \ vec {a} – \ vec {a_b} [/ math] es perpendicular a [math] \ vec {b} [/ math].

Para hacer esto, usemos una base ortonormal [matemáticas] (\ vec {e_1} = \ vec {\ hat {b}}, \ ldots, \ vec {e_n}) [/ matemáticas], entonces podemos hacer [matemáticas] \ inner {\ vec {a}} {\ vec {e_1}} = a_1 [/ math], y podemos verificar si [math] \ vec {a} -a_1 \ vec {e_1} [/ math] es perpendicular a [math] \ vec {b} = b \ vec {e_1} [/ math]. Haremos esto tomando el producto interno y viendo si obtenemos cero:

[matemáticas] \ begin {align} \ inner {\ vec {a} -a_1 \ vec {e_1}} {\ vec {b}} \\ & = \ inner {\ vec {a} -a_1 \ vec {e_1} } {b \ vec {e_1}} \\ & = b \ inner {\ vec {a} -a_1 \ vec {e_1}} {\ vec {e_1}} \\ & = b (\ inner {\ vec {a }} {\ vec {e_1}} -a_1 \ inner {\ vec {e_1}} {\ vec {e_1}}) \\ & = b (a_1 – a_1) = 0 \ end {align} [/ math]

Entonces [math] \ frac {\ inner {\ vec {a}} {\ vec {b}}} {|| b ||} \ vec {b} [/ math] es la proyección de [math] \ vec { a} [/ math] en [math] \ vec {b} [/ math].

La relación con el coseno proviene de esta característica de proyección. Si ve los vectores como magnitudes con direcciones, entonces puede hablar sensatamente sobre [matemáticas] \ theta [/ matemáticas] como el ángulo entre las direcciones. Tomando vectores unitarios (que tienen una magnitud de 1), y pensando en lo que hace una proyección geométricamente, puede ver que la magnitud de la proyección de un vector unitario sobre otro es [matemática] \ cos \ theta [/ matemática], entonces obtienes [math] \ inner {\ vec {\ hat {a}}} {\ vec {\ hat {b}}} = \ cos \ theta_ {ab} [/ math], y lo expandes para incluir las magnitudes , obtienes [matemáticas] \ inner {\ vec {a}} {\ vec {b}} = || \ vec {a}

Alex Sadovsky

| \ vec {b} || \ cos \ theta_ {ab} [/ math].

Intenté tener cuidado y no limitar nada de lo que dije a un conjunto particular de vectores. Como tal, por mucho que he podido, lo que he descrito es cierto en cualquier espacio vectorial real con un producto interno, incluso / especialmente aquellos que no son fáciles de considerar como “vectores con magnitud y dirección” . Por ejemplo, un espacio vectorial perfectamente válido es “polinomios de 1 variable” [matemática] P [x] [/ matemática] con un producto interno [matemático] \ inner = \ int_0 ^ 1 p_1 (x) p_2 (x) dx [/ math], que puede verificar que cumple con las reglas de un producto interno.

En tal situación, [math] \ theta [/ math] no se puede medir, pero puede ser útil definir [math] \ cos \ theta = \ inner {\ vec {\ hat {a}}} {\ vec {\ hat {b}}} [/ math] como parámetro, entre -1 y 1, que describe el grado de ortogonalidad de los dos vectores. Si [math] \ cos \ theta = 1 [/ math], están alineados entre sí, si [math] \ cos \ theta = 0 [/ math], son ortogonales. Si [math] \ cos \ theta = -1 [/ math], se oponen entre sí.

Buddha Buck

Un producto de puntos, también conocido como el “producto escalar” o “producto interno”, es una forma de multiplicar vectores para calcular longitudes y ángulos. Toma dos vectores y devuelve una cantidad escalar o “proyección escalar”.

$\text{[math]}$
Geométricamente, esto se puede visualizar como la “sombra” del vector A que cae perpendicular al vector B. Aquí se muestra como una línea de puntos.

Subramanian Nagarajan

He escrito una respuesta a esta pregunta hace unos meses. La respuesta subramaniana de Nagarajan a ¿Cuál es el sentido real del producto escalar de los vectores?

¡Espero que esto ayude!

Alex Sadovsky

Prefacio: La motivación a veces es diferente de las definiciones conceptualmente claras o incluso de buenos patrones de lecciones.

Volvamos a exponer la otra definición algebraica de un producto de puntos para darle una muestra justa:

[matemáticas] \ vec {A} \ cdot \ vec {B} = \ sum_ {i = 1} ^ {n} a_ {i} b_ {i} = a_1b_1 + a_2b_2 + \ ldots + a_nb_n [/ math]

Es la suma de los productos de los componentes de los dos vectores. Imagínese, en realidad no hay una forma menos complicada de multiplicar dos vectores sin perder información sobre sus componentes.

Ahora, la proyección de [math] \ vec {A} [/ math] en la dirección de [math] \ vec {B} [/ math] es más fácil de visualizar, pero lo mismo es cierto para la proyección de [math] \ vec {B} [/ math] en [math] \ vec {A} [/ math], porque el producto punto es conmutativo. (Esto es patológico para la intuición visual, pero …) Ayuda a recordar que el producto escalar es fundamentalmente una función de un par de vectores que produce un escalar. Y esa salida depende en gran medida de la orientación relativa de los vectores ([matemática] -1 \ leq \ cos \ theta \ leq 1 [/ matemática]), además de ser no decreciente con su longitud.

El gran uso de “[math] \ cdot [/ math]” podría considerarse como una forma algebraica de realizar trigonometría en espacios vectoriales. ¿Cuánto interactuaría una cosa con un flujo de magnitud y dirección con otra cantidad dirigida?

¿Ejemplo? Prueba Quora / Google “ángulo de insolación”.

Buddha Buck

Si conoces la siguiente relación
[matemáticas] \ cos (a, b) = \ frac {a \ cdot b} {|| a || || b ||}, [/ matemáticas]
entonces sabemos que el producto de puntos proporciona un medio para calcular el ángulo entre 2 vectores.

Buddha Buck

Dos vectores son perpenículos si el producto escalar es igual a 0. Hay un resultado más para coordireccional. El ángulo entre dos vectores relacionados con el producto escalar, pero no es tan obvio como dos vectores perpediculares. La defensa geométrica da una idea, que el resultado es un escalar que da una proyección del vector A sobre B. La imagen resalta eso como segmento.

Brando Miranda

A2A, gracias!

Imagínese parado en un terreno plano al mediodía (el sol está justo encima de usted) y sosteniendo un poste verticalmente. Toda la sombra del poste está debajo del poste.

Ahora comience a inclinar el poste, mirando continuamente su sombra. En cada ángulo de inclinación, la sombra correspondiente es la proyección del poste sobre el suelo.

Mientras el poste era vertical, la longitud de la proyección era cero. Cuando el poste está completamente horizontal (tendido en el suelo), su proyección coincidirá con el poste.

El producto escalar mide la longitud de la proyección en el suelo. Este producto es cero si el poste está perpendicular al suelo, y se maximiza si el poste yace en el suelo.

Buddha Buck

Sinceramente, no entiendo muy bien los productos de puntos, pero hay un video que trata de explicarlos geométricamente:

Subramanian Nagarajan

Puede mostrar ortogonalidad (eso significa que los dos vectores son perpendiculares) si es cero.

Alex Sadovsky

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