¿Cuál es la importancia de la desigualdad triangular?

Answer 1

La desigualdad del triángulo es una caracterización del camino más corto.

No es una regla inevitable del espacio métrico, tanto que forma la base de nuestra definición de métrica y, por lo tanto, forma naturalmente la base de los espacios métricos.

La definición de una métrica:
1] d (x, x) = 0
2] d (x, y) = d (y, x)
3] d (x, y) <= d (x, z) + d (z, y)

En efecto, definimos la distancia como la longitud de la “ruta” más corta entre dos puntos. Definirlo como la longitud del camino más corto es simplemente más “natural”, algo que entendemos y nos damos cuenta cuando Euclides afirmó: La suma de dos lados de cualquier triángulo es mayor que el tercero. Dado esto, uno podría haber definido alternativamente la métrica como,
1] Definir ruta en un espacio vectorial arbitrario
2] Definir la longitud de una ruta (digamos l)
3] Sea P el conjunto de todos los caminos entre x e y.
4] Deje S: P -> [0, 1] definir un criterio de selección que elija qué rutas están permitidas y cuáles no.
5] Sea d (x, y) = inf {l (p): p en P, S (p) = 1}

Esta forma de definir la distancia parece estar mucho más involucrada. ¿Cómo define la ruta en cualquier espacio vectorial arbitrario? ¿Cómo define la longitud de un camino en ese espacio? Por ejemplo, una forma de definir la ruta podría ser: Una ruta p de xay es una secuencia de vectores {x_i} tal que y = x + \ sum x_i. En general, este enfoque parece mucho más complicado y requiere mucho más trabajo (ni siquiera sé si alguien ha intentado definir la distancia a lo largo de estas líneas). Mientras que la definición anterior parece mucho más compacta y se hace compacta precisamente debido a la desigualdad del triángulo.

Entonces, en conclusión,
1] Queríamos definir la distancia como la longitud del “camino” más corto.
2] La desigualdad triangular captura de manera concisa esta noción.
3] Nos permite definir la distancia sin tener que definir rígidamente cosas como el camino, la longitud del camino, etc.

Sin mencionar que una función de distancia definida de esta manera da lugar a definiciones naturales para conjuntos abiertos, lo que nos permite definir una topología “agradable” en la parte superior de los espacios métricos. Muchos de los teoremas importantes relacionados con la topología métrica utilizan constantemente la desigualdad triangular.

Sin embargo, existen otras definiciones de métricas que juegan con la desigualdad del triángulo y dan lugar a diferentes tipos de espacios métricos. Por ejemplo, espacio ultramétrico. Otro ejemplo desde la perspectiva de la norma es Quasinorm.

Aplicaciones:
1] Como ya he señalado, la función de distancia habilitada con desigualdad triangular nos permite definir una buena topología en el espacio métrico.
2] Somos capaces de definir la convergencia de secuencias en el espacio métrico y nuevamente debido a la desigualdad de triángulos.
3] Nuevamente, debido a la desigualdad triangular, podemos conectar el concepto de convergencia con el concepto de conjuntos cerrados.

Answer 2

Un uso trivial para la desigualdad del triángulo es demostrar el hecho “obvio” de que el camino de menor longitud entre dos puntos es una línea recta.