Álgebra lineal: ¿Qué hace que el espacio de columna y el espacio de fila de una matriz tengan la misma dimensión?

Answer 1

Primero, una prueba ligera, en caso de que sea lo suficientemente intuitiva:

Digamos que la matriz A es mx n. A tiene n columnas, cada una de las cuales son vectores m-dimensionales.

Digamos que el espacio de columna de A es c-dimensional. c puede ser menor que myn. Hay una base de vectores c (cada m-dimensional) que abarca el espacio de la columna de A. Por lo tanto, las columnas de A se pueden escribir en términos de estos vectores c.

Para expresar eso, escriba la matriz B, que contiene esos vectores c como columnas. Entonces tendremos A = BC, donde las columnas de C son las coordenadas de las columnas de A en términos de esta base. Este es el punto clave: no lo explicaré aquí extensamente, pero es importante en lo que sigue. (No nos importa qué C es para propósitos aquí; existe. Lo mismo para B.)

Ahora regrese pero por un camino diferente. También podríamos ver A = BC como una declaración sobre la base de las filas de A. Las filas de B son coordenadas para las filas de A expresadas en base a las filas de C.

C tiene c filas . El espacio de fila de A se extiende por estos vectores c. Eso no significa que el espacio sea c-dimensional. Podría ser menos; las filas de C pueden no ser linealmente independientes. Pero al menos sabemos que dim (espacio de fila de A) <= dim (espacio de columna de A)

Ahora aplique la misma lógica a la transposición de A.

dim (espacio de fila de A ‘) <= dim (espacio de col de A'), entonces
dim (espacio de col de A) <= dim (espacio de fila de A)

Como las dos dimensiones son <= entre sí, deben ser iguales.

Ahora la observación más intuitiva que sé hacer: B tiene c columnas y C tiene c filas, por supuesto. Esta es la naturaleza de la simetría que lleva en dos direcciones a concluir lo mismo sobre el rango de fila y columna. B son coordenadas en términos de C, C son coordenadas en términos de B. Este espacio c-dimensional compartido da lugar al espacio de fila / columna.

Answer 2

Muestre que tanto el rango de fila como el rango de columna de una matriz [matemática] m \ veces n [/ matemática] [matemática] A [/ matemática] se pueden caracterizar como el entero positivo más pequeño [matemático] r [/ matemático] para el cual existe una matriz [matemática] m \ veces r [/ matemática] [matemática] B [/ matemática] y una matriz [matemática] r \ veces n [/ matemática] [matemática] C [/ matemática] tal que [matemática] A = BC [/ matemáticas].

Después de pensarlo, este es más intuitivo para mí. Multiplicar la matriz de la izquierda por una matriz invertible no cambia su rango de columna porque esta operación corresponde a aplicar una transformación lineal invertible a la imagen de la transformación lineal definida por la matriz. Por lo tanto, la reducción de filas elementales no cambia el rango de columna de la matriz, y tampoco lo hace permutar las filas. Está claro (al menos para mí) que estas operaciones tampoco cambian el rango de la fila. De manera similar, se puede argumentar que el rango de fila de la matriz no se ve afectado por las reducciones de columna elementales y las permutaciones de columna. Ahora cambie la matriz a la forma escalonada reducida en fila, así como a la forma escalonada reducida en columna, y aplique algunas permutaciones también, para finalmente obtener una matriz que tenga la forma [matemáticas] \ begin {pmatrix} I_r & 0_ {r \ times (nr)} \\ 0 _ {(nr) \ times r} & 0 _ {(nr) \ times (nr)} \ end {pmatrix} [/ math]. Esta [matemática] r [/ matemática] es claramente igual tanto al rango de fila como al rango de columna de la nueva matriz y, por lo tanto, de la matriz anterior.

Answer 3

Creo que Sean Owen ha dado una gran respuesta. Solo estoy tratando de dar uno más intuitivo, IHMO e informal.

El siguiente razonamiento se basa en la afirmación de que “en un espacio dimensional D, necesitamos escalares D para presentar un vector”.

Digamos que la matriz A es m * n. El rango de la columna de A es R_c. Esto significa que necesita escalares R_c para representar un vector en el espacio de la columna. Por lo tanto, para los elementos m de cada vector de columna, necesitamos R_c de ellos. En otras palabras, para cada vector de columna, debemos elegir índices de fila R_c.

Pero no sabemos si podemos encontrar índices de fila R_c que funcionen para todos los vectores de columna: si podemos, entonces hay vectores de fila independientes de R_c, si no podemos, hay más de vectores de fila independientes de R_c. Por lo tanto, R_r> = R_c.

Considerando A ‘, sabemos que R_c> = R_r. Por lo tanto, R_c == R_r.