¿Cuál es una explicación intuitiva de la relación entre el determinante de una matriz y el producto cruzado de vectores?

Answer 1

Volumen, pero su enlace es más fácil de considerar para solo unos pocos vectores Una matriz representa una transformación lineal aplicada a un conjunto de ‘ejes’ que a su vez puede representar los vectores de borde desde un punto de una unidad de volumen. Luego, puede preguntar qué sucede con el volumen de la unidad y el tipo de propiedades que podría esperar de una función de volumen aplicada a él, por ejemplo

• un aumento escalar en un vector debería conducir a una escala correspondiente en el resultado,
• el volumen no debería cambiar si tradujo el original por un vector fijo
• si intercambiaste dos filas, el resultado debería negarse
• Si una fila es una combinación lineal de las otras, el resultado degenera a 0
• y así
  Muy pronto se llega a una definición de función que se parece bastante a un determinante, más o menos un factor escalar

  Al considerar un producto vectorial cruzado de dos vectores, a , b , en 3D terminas con otro vector perpendicular al plano de los dos que se multiplica por magnitud | a | El | b | sin (theta) donde theta es el ángulo entre entonces. Si bien este es el área (volumen) del paralelogramo definido por los dos vectores, también tiene las mismas propiedades de álgebra lineal (la traducción por otro vector no cambia, si intercambia los vectores, la respuesta se niega, escala, etc. ) como determinante, por lo que puede llegar a la conclusión de que los dos son iguales, dar o tomar un escalar.
  Cuando desee pasar a dimensiones superiores, debe tener un poco más de cuidado con lo que quiere decir con un producto vectorial, ya que el volumen es escalar. Para el volumen tridimensional determinado por 3 vectores a , b , c , el determinante es en realidad igual al producto triple escalar a . ( B x c ) que también es el volumen correspondiente

• Si le preocupan los jacobianos para la transformación de coordenadas y la curvatura de un campo vectorial, entonces esto es medir la distorsión local infinitesimal del sistema o campo de coordenadas. Si su producto cruzado sale cero entonces significa una dependencia lineal entre los dos sistemas

Answer 2

Todo tiene que ver con los volúmenes de paralelepípedos. El álgebra exterior y la derivada exterior explican la relación entre los determinantes, los productos cruzados y los rizos al pensar en términos de “vectores de longitud”, “vectores de área”, “vectores de volumen”, etc., y le permite una forma de hacer “multiplicación perpendicular” entre ellos.

El producto de cuña, una especie de “determinante parcial”, es una especie de “multiplicación perpendicular” de vectores motivado por el hecho de que solo los componentes perpendiculares (y no componentes paralelos) de los bordes de un paralelepípedo contribuyen al volumen. Por lo tanto, la razón por la cual [math] a \ wedge a = 0 [/ math] es una parte importante de lo que le da al producto de cuña sus propiedades.

Dado que la no-ceroidad del determinante mide si los vectores incluso tienen componentes perpendiculares entre sí en primer lugar, naturalmente también mide la dependencia lineal.

Curl es una forma de la derivada exterior, y las derivadas exteriores pueden considerarse como una especie de diferenciación “perpendicular”, ya que también usan el álgebra exterior: cambios en el campo de vectores (múltiples) perpendiculares con la dirección en la que se está diferenciando. Como consecuencia natural de estar “perpendicularmente” definido de esta manera, la derivada exterior también puede considerarse como medición de cambios (“flujos”) a través de paralelepípedos.

Answer 3

Comencemos afirmando que la existencia de productos cruzados de vectores que pueden ser representados por otro vector es peculiar de tres dimensiones espaciales. Si viviéramos en un espacio de una dimensión diferente, el análogo de un producto cruzado sería un objeto completamente diferente y muchas reglas no funcionarían, por ejemplo, el volumen abarcado por un conjunto de vectores ya no sería un producto mixto. Lo mismo es cierto para el operador de rizo en un campo vectorial: el hecho de que pueda ser representado por otro campo vectorial es específico de tres dimensiones.

Ahora, a la cuestión de expresar el producto cruzado como un “determinante”. Bueno, esto es en realidad un truco mnemotécnico y no tiene un significado realmente profundo: tenga en cuenta que la “matriz” que escribe para calcular el producto cruzado es de esta manera no es realmente una matriz en un sentido matemático, porque sus filas son construir a partir de diferentes objetos (dos filas contienen números: coordenadas vectoriales, la tercera es construir vectores base).

Answer 4

Voy a mezclar en notación Matlab donde [ab] es un vector de fila, [a; c] es un vector de columna y [ab; cd] es una matriz.

Entonces supongo que te refieres a la regla de que [matemáticas] u \ veces v [/ matemáticas] = det ([ijk; u1 u2 u3; v1 v2 v3]) donde i, j y k son vectores unitarios? Luego comience observando que esta es una forma de escritura estrictamente incorrecta pero fácil de recordar

det ([1 0 0; u1 u2 u3; v1 v2 v3]) * i + det ([0 1 0; u1 u2 u3; v1 v2 v3]) * j + det ([0 0 1; u1 u2 u3; v1 v2 v3]) * k

Ahora recuerde que el determinante de tres 3 vectores e, u y v agrupados en una matriz es el volumen del Paralelepípedo definido por los tres vectores. También es igual a [math] e \ cdot u \ times v [/ math] (o [math] e \ times u \ cdot v [/ math]. Eso es porque [math] u \ times v [/ math] tiene magnitud igual al área del paralelogramo definido por u y v y la dirección en ángulo recto a ese paralelogramo. Entonces el producto puntual dice que el paralelepípedo tiene volumen en la medida en que el tercer borde está en la misma dirección que la normal a los otros dos .

Y un producto punto de un vector con un vector unitario tiene un significado especial: es el componente del vector en la dirección de ese vector unitario. Entonces, la matriz es una forma elegante de escribir i veces el componente de [math] u \ times v [/ math] en la dirección i más j multiplicado por el componente de [math] u \ times v [/ math] en la dirección j más k veces el componente de [matemática] u \ veces v [/ matemática] en la dirección k.