Una función (vector) es un mapa lineal si cumple las siguientes propiedades.
Para una función vectorial [math] f: \ mathbb {R} ^ n \ to \ mathbb {R} ^ m [/ math], si para dos vectores [math] \ mathbf {x} [/ math] y [math] \ mathbf {y} [/ math] en [math] \ mathbb {R} ^ n [/ math]
- [matemáticas] f (\ mathbf {x} + \ mathbf {y}) = f (\ mathbf {x}) + f (\ mathbf {y}) [/ math]
Para un escalar [math] \ alpha [/ math],
- [matemáticas] f (\ alpha \ mathbf {x}) = \ alpha f (\ mathbf {x}) [/ matemáticas]
La condición que el Usuario de Quora ha descrito se deriva de estas condiciones.
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Por ejemplo, considere la siguiente función,
[matemáticas] \ begin {pmatrix} x \\ y \ end {pmatrix} \ to \ begin {pmatrix} x + y \\ x \ end {pmatrix} [/ math]
Considere dos vectores, [math] \ mathbf {a} = \ begin {pmatrix} 1 \\ 2 \ end {pmatrix} [/ math] y [math] \ mathbf {b} = \ begin {pmatrix} 3 \\ 4 \ end {pmatrix} [/ math]
Si agregamos los vectores y evaluamos la función, obtenemos [math] \ begin {pmatrix} 10 \\ 4 \ end {pmatrix} [/ math]
Si evaluamos la función y luego agregamos los vectores que obtenemos
[matemáticas] \ begin {pmatrix} 3 \\ 1 \ end {pmatrix} + \ begin {pmatrix} 7 \\ 3 \ end {pmatrix} [/ math]
Estos son lo mismo. Por lo tanto, la primera condición se cumple.
Del mismo modo, podemos verificar la segunda condición.
Por lo tanto, la función mencionada anteriormente es una transformación lineal o mapeo lineal.