¿Cuáles son algunos puntos importantes de intersección entre el álgebra lineal y otras ramas de las matemáticas?

Answer 1

El álgebra lineal se cruza con cualquier otro campo de las matemáticas, todo el tiempo, en todas partes . No es una exageración afirmar que la única parte de las matemáticas que los matemáticos realmente entienden es el álgebra lineal, y todo lo demás es que estamos tratando de resolver otras cosas reduciéndolo a álgebra lineal. Dar ejemplos sería engañoso porque dejaría de lado más de lo que incluiría. Esto es cierto tanto en matemáticas puras como aplicadas.

Editar: Pero tal vez sería instructivo dar ejemplos de todos modos. Aquí hay algunos, comenzando por sus ejemplos.

• Las ecuaciones diferenciales más fáciles de estudiar son las ecuaciones diferenciales lineales, que son aquellas cuyas soluciones forman un espacio vectorial. El estudio de los más simples, las EDO de coeficiente constante lineal, puede reducirse al estudio de la forma normal de Jordan. Pero las conexiones entre el álgebra lineal y las ecuaciones diferenciales son mucho más profundas que esto.
• Los espacios métricos más fáciles de estudiar son los espacios vectoriales normados. Este es el tema del análisis funcional, que es una parte importante e importante del análisis. Tiene aplicaciones, por ejemplo, para el estudio de ecuaciones diferenciales.
• Muchos temas importantes en estadística son esencialmente temas en álgebra lineal, incluidos, entre otros, la regresión de mínimos cuadrados y el análisis de componentes principales.
• El álgebra lineal puede considerarse como un caso especial de álgebra conmutativa, particularmente las partes del álgebra conmutativa que tienen que ver con módulos (Módulo (matemáticas)). El álgebra conmutativa es a su vez fundamental para varias partes de las matemáticas, incluida la teoría de números algebraicos y la geometría algebraica.
• El álgebra lineal también puede considerarse como un caso especial de la teoría de la Mentira, que es quizás uno de los temas más centrales de las matemáticas, relacionado con casi todo lo demás.
• Muchos aspectos de la geometría y la topología pueden considerarse como intentos de linealizar una situación no lineal complicada: por ejemplo, el estudio de la homología (matemáticas) puede considerarse como una linealización del estudio de la homotopía.
• El álgebra lineal se puede utilizar para estudiar una interesante colección de temas relacionados en combinatoria y ciencias de la computación que involucran lenguajes regulares y máquinas de estado finito. La versión corta de la historia es que una serie de secuencias combinatorias interesantes cuentan el número de palabras de una longitud particular en un idioma regular, y siempre es posible describir este recuento en términos de poderes de una matriz relacionada con la matriz de adyacencia de Una máquina de estados finitos que reconoce el lenguaje. Por ejemplo, la secuencia de Fibonacci está relacionada de esta manera con la matriz [matemática] \ left [\ begin {array} {cc} 1 & 1 \\ 1 & 0 \ end {array} \ right] [/ math]; Si toma los poderes de esta matriz, comenzará a ver aparecer los números de Fibonacci, y esto se puede usar para dar una prueba conceptual de la Fórmula del Número de Fibonacci de Binet.

Nuevamente, siento que cualquier lista dejará de lado más de lo que incluirá. Tenga la seguridad de que el álgebra lineal es importante para casi todo.

Answer 2

Aquí hay algunas cosas que quiero agregar.

1. Además de la geometría más simple asociada al álgebra lineal, también tenemos una buena comprensión de la teoría espectral de los operadores lineales. En muchos argumentos globales no triviales, hay algún tipo de teoría espectral (cambio de base al marco “correcto”). Los ejemplos incluyen la transformación de Fourier, el estudio de la función zeta para estudiar objetos aritméticos (nuevamente una transformación multiplicativa), la inversión de mobius y muchas otras dualidades.

Aquí hay un ejemplo de ideas básicas en álgebra lineal reflejadas en construcciones no triviales. Tenemos una fórmula explícita para la traza de matrices – suma de términos diagonales (geométricos) y suma de valores propios (espectrales). Este hecho básico generaliza a lo que se llama fórmula de traza de grupos reductores –profunda y no se entiende adecuadamente en muchos casos y corresponde a la fórmula de traza de Frobenius para grupos finitos. Sabemos que los polinomios característicos capturan el espectro y que el álgebra generada por la matriz es un objeto importante. Comprender objetos elementales similares (subgrupos conmutativos que centralizan una clase de conjugación) relacionados con objetos geométricos llamados fibras de Hitchin fue crucial en la integración de Ngo Bau Chau de los flujos de Hitchin y esto es parte del trabajo ganador de medallas de Fields sobre lema fundamental y geometría relacionada.

2. La aritmética del campo en el que estamos trabajando se puede entender muy bien al estudiar simetrías de objetos lineales. Si estudiamos las propiedades básicas de las construcciones functoriales de objetos lineales (como producto tensorial, potencias simétricas), podemos obtener resultados no triviales para los objetos subyacentes. Este es el contenido del programa Langlands.

3. El estudio de grupos matriciales forma una parte muy importante de las matemáticas. Hay mucho que entender sobre la geometría de estos objetos y mucho más sobre los espectros en diferentes familias de grupos.

Answer 3

Como otro ejemplo de la declaración de Qiaochu Yuan de que el álgebra lineal toca todo, permítanme mencionar algo completamente no obvio.

Primero necesito explicar sobre matrices dispersas. Una matriz es escasa si hay suficientes elementos que son cero que no puede ignorar el hecho. Esa es una definición agradable e imprecisa, y es lo suficientemente buena. Tradicionalmente, las matrices dispersas se asociaban con las ciencias de la ingeniería (métodos de diferencias finitas y elementos finitos y demás), pero últimamente han venido de un rincón inesperado.

Hagamos una matriz grande, con un tamaño igual al número de páginas web que existen. Ahora ponga uno en la ubicación (i, j) si la página i tiene un enlace a la página j. Esto le da una matriz dispersa, y hay mucha teoría interesante sobre ellos. Para el siguiente resultado, en realidad no necesita escasez; pero pensé en señalar la conexión entre matrices y “cosas conectadas entre sí”. Ok, se podría decir, que en realidad no es una matriz, es solo una tabla. Bueno, siéntese y vea el álgebra lineal en acción …

Digamos que la importancia de una página web aumenta si muchas páginas importantes enlazan con ella. Esa es una definición circular, por lo que no es fácil de calcular. Sin embargo, puede mostrar que existe una clasificación de páginas, de modo que si evalúa la clasificación nuevamente en función de eso, obtendrá esa misma clasificación. En otras palabras, existe una noción consistente y bien definida de clasificación. Si escribe esto en lenguaje matemático, encontrará que esta clasificación de páginas es un problema de valor propio, y con muchas más matemáticas puede demostrar que puede encontrar esa clasificación simplemente multiplicando su matriz grande varias veces contra un vector aleatorio .

Y eso es lo que matemáticamente hace PageRank, el algoritmo de búsqueda de Google: le brinda las páginas de mayor clasificación que contienen sus términos de búsqueda, donde esa clasificación proviene del vector propio correspondiente al mayor valor propio de esa matriz de conectividad.

Answer 4

Puedo dar un ejemplo de mi propio trabajo. Trabajo en técnicas para calcular integrales sobre grupos de matrices, como los grupos unitarios, grupos ortogonales, grupos ortogonales especiales, así como sus análogos cuánticos, que no discutiré aquí. Resulta que si bien este es un problema puramente analítico, casi no hay herramientas en el análisis o la teoría de la medición con las que calcular incluso integrales simples. Tenemos que estudiar la estructura algebraica de ciertas álgebras, llamadas “álgebras centralizadoras”, y ver cómo calcular las proyecciones ortogonales sobre estas álgebras para obtener respuestas reales a las integrales de la matriz. Al hacer las proyecciones ortogonales, nos gustaría utilizar algoritmos bien conocidos como Graham Schmidt, pero esto requiere encontrar una base ortogonal de las álgebras en cuestión, lo que no fue posible hasta los últimos años. ¡Es una pequeña broma que los analistas a menudo hacen más álgebra lineal que el análisis en muchos campos!