¿Por qué el rizo y la divergencia en las ecuaciones de Maxwell se escriben en forma de un producto punto de dos vectores?

Answer 1

Ellos no están.

Las ecuaciones de Maxwell son
[matemáticas] \ nabla \ cdot \ vec E = \ rho / \ epsilon_0 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ nabla \ cdot \ vec B = 0 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ nabla \ veces \ vec E = – \ frac {\ partial \ vec B} {\ partial t} [/ matemática]
[matemáticas] \ nabla \ veces \ vec B = \ mu_0 \ left (\ vec J + \ epsilon_0 \ frac {\ partial \ vec E} {\ partial t} \ right) [/ math]

En primer lugar, las últimas dos ecuaciones, que involucran el rizo, usan el símbolo [math] \ nabla \ times [/ math] para sugerir el producto cruzado, no el producto de puntos.

Lo más importante a entender es que [math] \ nabla [/ math] no es un vector: es un operador diferencial
[math] \ nabla = \ left (\ frac {\ partial} {\ partial x}, \ frac {\ partial} {\ partial y}, \ frac {\ partial} {\ partial z} \ right) [/ math ]

Por ejemplo, si tenemos alguna función vectorial [matemáticas] \ vec f = (f_1, f_2, f_3) [/ matemáticas], entonces podemos escribir, dejando que [matemáticas] \ vec r = (x, y, z) [/ matemáticas]
[matemáticas] \ nabla \ cdot \ vec f = \ sum_ {i = 1} ^ 3 \ frac {\ partial f_i} {\ partial r_i} [/ matemática]
que es una forma de definir la divergencia. Tenga en cuenta que esto es sugerente como tomar literalmente el producto punto: multiplicar los componentes [math] i ^ {th} [/ math] de [math] \ nabla, \ vec f [/ math] da [math] \ partial f_i / \ parcial r_i [/ ​​math], por lo que sumarlos realmente parece que estamos tomando un producto de punto de los dos. De manera similar, el rizo parece tomar el producto cruzado de [math] \ nabla [/ math] con [math] \ vec f [/ math], tratando cada uno de los derivados como un componente del vector [math] \ nabla [/ matemáticas].

Esto no es del todo correcto, porque, como mencionamos, [math] \ nabla [/ math] es un operador diferencial, no un vector, por lo que no conmuta. Por ejemplo, el producto triple escalar de tres vectores es generalmente invariante bajo permutación cíclica
[matemáticas] \ vec a \ cdot (\ vec b \ times \ vec c) = \ vec b \ cdot (\ vec c \ times \ vec a) [/ math]
mientras
[matemáticas] \ nabla \ cdot (\ vec b \ times \ vec c) = \ vec b \ cdot (\ nabla \ times \ vec c) – \ vec c \ cdot (\ nabla \ times \ vec b) [/ math ]
donde el primer término se parece a lo que esperaríamos si [math] \ nabla [/ math] se comportara como un vector, pero hay un término adicional.

Es una notación sugerente, ¡pero no debes pensar en ella como un producto de punto! Es un operador.

Answer 2

[math] \ nabla \ cdot \ mathbf {A} [/ math] y [math] \ nabla \ times \ mathbf {A} [/ math] son ​​realmente abusos de notación que sirven como mnemotécnicos para las fórmulas de divergencia y rizo en coordenadas cartesianas. Tienes que imaginar que [math] \ nabla = (\ partial_x, \ partial_y, \ partial_z) [/ math]. Entonces

[matemáticas] \ nabla \ cdot \ mathbf {A} = \ partial_x A_x + \ partial_y A_y + \ partial_z A_z [/ math]
[matemáticas] \ nabla \ veces \ mathbf {A} = [/ matemáticas]
[matemática] (\ partial_y A_z – \ partial_z A_y, \ partial_z A_x – \ partial_x A_z, \ partial_x A_y – \ partial_y A_x) [/ math]

No tiene sentido, pero realmente es un mnemónico efectivo.

Answer 3

Como otras personas notaron, la forma “vectorial” de las ecuaciones de Maxwell es realmente un abuso de notación: es una forma abreviada que ayuda a escribir las ecuaciones solo en coordenadas cartesianas. La forma es útil para enseñar primero las ecuaciones, pero oscurece su significado hasta cierto punto.

Una forma más poderosa y reveladora, pero mucho más compacta y, en cierta medida, menos intuitiva de escribir las ecuaciones de Maxwell es utilizar la notación de formas diferenciales inventadas por Cartan.

De esta manera obtienes los beneficios adicionales de poder manejar coordenadas curvilíneas y escribir las ecuaciones en un espacio-tiempo curvado arbitrario, todo a la vez, aunque todavía es bastante trabajo obtener las ecuaciones en un sistema de coordenadas local.

La principal ventaja es que la naturaleza geométrica de las ecuaciones se vuelve mucho más clara de inmediato.

Las ecuaciones de Maxwell en realidad establecen relaciones específicas entre ciertas formas diferenciales de diferente rango en una variedad de 4 dimensiones. El tensor de intensidad de campo es la forma de curvatura en un haz de fibras sobre ese múltiple.

Para escribir las ecuaciones, simplemente defina una intensidad de campo electromagnético de 2 formas F en el espacio-tiempo, y también una densidad de corriente de 3 formas J, que actúa como una fuente de F; en ausencia de monopolos magnéticos, solo hay un término fuente , correspondiente a la carga eléctrica.

En un sistema de coordenadas local específico, [matemática] x ^ a [/ matemática]:

[matemáticas] F = \ frac {1} {2} \, f_ {ab} \, \, dx ^ a \ wedge dx ^ b [/ matemáticas]

Aquí [math] f_ {ab} [/ math] es el conocido tensor de fuerza de campo electromagnético antisimétrico, cuyos componentes están relacionados con los campos eléctrico y magnético de la manera estándar. Y para la forma de densidad de corriente podemos escribir:

[matemáticas] J = \ frac {1} {6} \, j ^ a \, \ epsilon_ {abcd} \, \, dx ^ b \ wedge dx ^ c \ wedge dx ^ d [/ math]

donde [math] \ epsilon [/ math] es el símbolo constante de Levi-Civita. En este caso, las ecuaciones de Maxwell se separan en una parte homogénea y una no homogénea:

[matemáticas] d F = 0 [/ matemáticas]

y

[matemáticas] d * F = J [/ matemáticas]

El operador d es la derivada exterior, [math] \ wedge [/ math] es el producto exterior, y [math] * [/ math] es el operador estrella de Hodge. Las definiciones de estos no son difíciles de aprender. Me he olvidado de incluir las constantes físicas que hacen correctas las dimensiones.

Esta notación ciertamente hace que las ecuaciones se vean mucho más simples.

Dado que se cumple la ecuación homogénea para F, es decir que F es una forma cerrada, luego, en un espacio simplemente conectado como el espacio de Minkowski, F también es una forma exacta, de modo que podemos escribir:

[matemáticas] F = d A [/ matemáticas]

para algunos 1-forma A (el potencial 1-forma).

Con solo un poco de conocimiento, es fácil ver que F es una forma de curvatura en algún paquete principal a lo largo del espacio-tiempo. La forma de curvatura en un paquete principal generalmente se puede escribir:

[matemáticas] C = d A + \ frac {1} {2} \, A \ wedge A [/ matemáticas]

donde A es la conexión. En el caso de que el grupo sea abeliano, el segundo término desaparece, y vemos que C puede identificarse con F. Un pequeño examen muestra que el grupo en cuestión es U (1).

De esta manera, puede ver que una solución de las ecuaciones de Maxwell en realidad relaciona la curvatura en un paquete principal U (1) sobre el espacio-tiempo, con la densidad de corriente en ese espacio-tiempo, y U (1) es topológicamente igual que el círculo, por lo que tener un paquete circular sobre el espacio-tiempo, en general, una imagen muy bonita. Esta es una idea que es casi imposible obtener de la forma “vectorial” de las ecuaciones.

Answer 4

El cálculo geométrico ofrece una visión en la que [matemáticas] \ nabla \ cdot A [/ matemáticas] y [matemáticas] \ nabla \ veces A [/ matemáticas] no son abusos de notación. Están dados por las partes simétricas y antisimétricas de la derivada del vector [math] \ nabla A, [/ math] respectivamente, donde [math] \ nabla [/ math] es un operador de derivada con valor vectorial con una definición libre de coordenadas. Este producto no significa nada en el cálculo vectorial de Gibbs, pero es significativo en el álgebra de Clifford.

En cuatro dimensiones, las ecuaciones de Maxwell son de la forma

[matemáticas] \ parcial F = J, [/ matemáticas]

donde [matemática] \ parcial [/ matemática] es la derivada del vector y [matemática] F [/ matemática] es un campo bivector que satisface [matemática] \ parcial \ cuña F = 0. [/ matemática]

Ver ecuaciones. 3.2 y 5.2 de [este documento] ( http://geocalc.clas.asu.edu/pdf/ …).

Answer 5

Para agregar a la respuesta de Lucian Wang, para aquellos de ustedes que no están convencidos de que es importante tener en cuenta que lo que está sucediendo aquí no es realmente un producto de punto, considere lo siguiente.

Aunque es cierto que
[matemáticas] \ sum_ {i = 1} ^ 3 \ frac {\ partial f_i} {\ partial x_i} [/ math]
realmente parece un producto de punto entre los “vectores”
[matemáticas] \ nabla = (\ frac {\ partial} {\ partial x}, \ frac {\ partial} {\ partial y}, \ frac {\ partial} {\ partial x}) [/ matemática]
y
[matemáticas] f = (f_x, f_y, f_z) [/ matemáticas]
tenga en cuenta que esto es específico del sistema de coordenadas que hemos elegido, es decir, coordenadas cartesianas.

Específicamente, en otros sistemas de coordenadas como las coordenadas esféricas y cilíndricas, la divergencia no se parece en absoluto a un producto puntual. Realmente es solo un mnemotécnico.

Answer 6

Es lo que se conoce como ‘abuso de notación’; el operador de gradiente no es realmente un vector, pero en coordenadas cartesianas regulares el rizo y la divergencia se parecen al producto de cruz y punto, respectivamente, de un campo vectorial y el gradiente.