¿Cuáles son algunas aplicaciones comunes de la matriz de Vandermonde?

Answer 1

Una pequeña aplicación ordenada de una matriz similar a Vandermonde aparece en el procesamiento de señal digital en el cálculo de la DFT (transformada discreta de Fourier) y la IDFT (transformada discreta inversa de Fourier).

En resumen, el DFT se usa para convertir muestras equiespaciadas de una función en el dominio del tiempo al dominio de la frecuencia. El IDFT hace exactamente lo contrario.

Dé una secuencia discreta [matemática] x (n) [/ matemática], el punto correspondiente [matemática] N – [/ matemática] DFT [matemática] X (k) [/ matemática] viene dado por

[matemáticas] \ displaystyle X (k) = \ sum_ {n = 0} ^ {N-1} x (n) W_N ^ {kn} [/ matemáticas]

mientras que el punto IDFT [matemático] N – [/ matemático] viene dado por

[matemáticas] \ displaystyle x (n) = \ frac {1} {N} \ sum_ {k = 0} ^ {N-1} X (k) W_N ^ {- kn} [/ matemáticas]

donde [math] W_N = e ^ {- j 2 \ pi / N} [/ math] (a veces llamado ‘factor twiddle’) son básicamente las raíces [math] N [/ math] th de la unidad.

Definiendo las matrices

[matemáticas] \ mathbf {x} _N = \ begin {bmatrix} x (0) \\ x (1) \\ \ vdots \\ x (N-1) \ end {bmatrix} [/ math]

[matemáticas] \ mathbf {X} _N = \ begin {bmatrix} X (0) \\ X (1) \\ \ vdots \\ X (N-1) \ end {bmatrix} [/ math]

y

[matemática] \ mathbf {W} _N = \ begin {bmatrix} 1 y 1 y 1 y \ cdots y 1 \\
1 & W_N & W_N ^ 2 & \ cdots & W_N ^ {N-1} \\
1 & W_N ^ 2 & W_N ^ 4 & \ cdots & W_N ^ {2 (N-1)} \\
\ vdots & \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\
1 & W_N ^ {N-1} & W_N ^ {2 (N-1)} & \ cdots & W_N ^ {(N-1) (N-1)}
\ end {bmatrix} [/ math]

nos permite escribir concisamente las expresiones DFT e IDFT respectivamente como

[matemáticas] \ displaystyle \ mathbf {X} _N = \ mathbf {W} _N \ mathbf {x} _N [/ math]

y

[matemáticas] \ displaystyle \ mathbf {x} _N = \ mathbf {W} _N ^ {- 1} \ mathbf {X} _N [/ math]

La matriz tipo Vandermonde [math] \ mathbf {W} _N [/ math] se llama matriz DFT y posee la propiedad especial de la ortogonalidad, es decir

[matemáticas] \ displaystyle \ mathbf {W} _N \ mathbf {W} _N ^ {*} = N \ mathbf {I} _N [/ math]

donde [math] * [/ math] denota conjugación compleja y [math] \ mathbf {I} _N [/ math] es la matriz de identidad [math] N \ times N [/ math]. Esto también significa que la matriz DFT [math] \ mathbf {W} _N [/ math] posee un inverso dado por

[math] \ displaystyle \ mathbf {W} _N ^ {- 1} = \ frac {1} {N} \ mathbf {W} _N ^ {*} [/ math]

Answer 2

Si un polinomio monic [math] p (x) = x ^ n + a_ {n-1} x ^ {n-1} + \ cdots + a_0 [/ math] tiene raíces [math] \ lambda_1, \ ldots, \ lambda_n [/ math], entonces el cuadrado del determinante de la matriz de Vandermonde cuya fila [math] i ^ {th} [/ math] es [math] 1, \ lambda_i, \ lambda_i ^ 2, \ ldots, \ lambda_i ^ {n-1} [/ math] para todos [math] i \ in \ {1, \ ldots, n \} [/ math] es el discriminante de [math] p (x) [/ math].

Por ejemplo, el discriminante del polinomio cuadrático [matemático] x ^ 2 + bx + c [/ matemático] cuyas raíces son [matemático] \ alpha [/ matemático] y [matemático] \ beta [/ matemático] es el cuadrado de [ math] \ begin {vmatrix} 1 & \ alpha \\ 1 & \ beta \ end {vmatrix} [/ math], que es [math] (\ beta- \ alpha) ^ 2 [/ math]. Como [math] \ alpha + \ beta = -b [/ math] y [math] \ alpha \ beta = c [/ math],

[matemáticas] (\ beta- \ alpha) ^ 2 = \ alpha ^ 2 + 2 \ alpha \ beta + \ beta ^ 2-4 \ alpha \ beta [/ matemáticas]
[matemáticas] = (\ alpha + \ beta) ^ 2-4 \ alpha \ beta = b ^ 2-4c [/ matemáticas],

que corresponde al discriminante habitual para las cuadráticas monicas.

Answer 3

Si está intentando ajustar un polinomio a un conjunto de puntos, debe resolver una ecuación del tipo Ax = b donde A es una matriz de Vandermonde.

Answer 4

Derivación de la distancia mínima del código Reed Solomon.

Answer 5

Se usa en transformaciones rápidas de Fourier.