Su ejemplo es realmente bastante interesante. Si bien el uso de la notación de producto de punto para la divergencia es simplemente “azúcar sintáctico”, el hecho de que pueda manipular combinaciones de funciones y operadores diferenciales usando (algunas de) las reglas habituales de álgebra es totalmente legítimo. El álgebra de Weyl (para [math] \ mathbf {R} ^ {n} [/ math]) es el anillo de operadores diferenciales (combinaciones de [math] \ partial / \ partial x_i [/ math] sy superior [posiblemente mezclado ] derivadas parciales) con coeficientes polinomiales. Tenga en cuenta que esto incluye funciones polinómicas en sí mismas, que son como operadores diferenciales de “orden 0”. Decir que es un “anillo” significa que tiene sentido multiplicar (componer) operadores diferenciales. Pero no es un anillo conmutativo . Por ejemplo, trabajando en 1 variable, podemos preguntar dónde están los operadores diferenciales [matemática] \ frac {\ partial} {\ partial x} x [/ matemática] y [matemática] x \ frac {\ parcial} {\ parcial x} [/ matemáticas] de acuerdo. Advertencia : la notación [matemáticas] \ frac {\ partial} {\ partial x} x [/ matemáticas] es un poco confusa aquí. No me refiero a la derivada de x con respecto a x; Me refiero al operador que toma una función [matemática] f [/ matemática] a [matemática] \ frac {\ partial (xf)} {\ partial x} [/ matemática], es decir, primero multiplique la función por x y luego tome el derivado.
La respuesta es que estos operadores no son lo mismo: según la regla del producto (Liebniz),
[matemáticas] \ frac {\ partial (xf)} {\ partial x} – x \ frac {\ partial f} {\ partial x} = x \ frac {\ partial f} {\ partial x} + f \ frac { \ partial x} {\ partial x} – x \ frac {\ partial f} {\ partial x} = f [/ math]. Entonces la diferencia entre los dos operadores no es cero; más bien es el operador de identidad.