¿Por qué el determinante de las matrices invertibles debe ser 1 para invertir en una matriz de números enteros?

Answer 1

En realidad, tu pregunta no es precisa. Necesitas preguntar:

“¿Por qué el determinante de una matriz invertible con entradas enteras debe ser igual a [math] \ pm 1 [/ math] para que su inverso tenga entradas enteras?” La respuesta es la siguiente.

Primero, tenga en cuenta que el determinante de una matriz con entradas enteras es un entero. (Piensa en esta afirmación y convéncete de que es verdad).

Ahora dejemos que [math] M [/ math] sea nuestra matriz. Si queremos que [math] M ^ {- 1} [/ math] tenga entradas enteras, entonces queremos que [math] \ det (M) [/ math] y [math] \ det (M ^ {- 1} ) [/ math] para ser enteros. Pero como [matemática] \ det (M ^ {- 1} M) = \ det {I} = \ det (M ^ {- 1}) \ det (M) [/ matemática], tenemos [matemática] \ det (M ^ {- 1}) \ det (M) = 1 [/ matemática]. Los únicos pares de enteros cuyo producto es [matemática] 1 [/ matemática] son ​​[matemática] 1 [/ matemática] y [matemática] 1 [/ matemática] o [matemática] -1 [/ matemática] y [matemática] -1 [/ math], entonces [math] \ det (M) = \ det (M ^ {- 1}) = 1 [/ math] o [math] \ det (M) = \ det (M ^ {- 1 }) = – 1 [/ matemáticas].

Esta es, de hecho, una condición necesaria y suficiente. Una matriz con entradas enteras tiene un inverso con entradas enteras si y solo si su determinante es [math] \ pm 1 [/ math].

Answer 2

Debido a que det (AB) = det (A) det (B), el determinante de la inversa es el recíproco del determinante original. Por lo tanto, si el inverso y el original tienen entradas de números enteros, entonces det (A) debe ser un número entero cuyo recíproco sea un número entero. Los únicos dos números son 1 y -1.

Tenga en cuenta que la pregunta es incorrecta como se indicó: el determinante también puede ser -1, y también debe suponer que la matriz original tiene entradas de números enteros.