Como señaló Joachim, esto no es cierto en general. Adivinando la parte superior de mi cabeza, la función [matemática] e ^ {t ^ 2} [/ matemática] probablemente no está en [matemática] span \ {e ^ {\ lambda t} \} [/ matemática] porque crece demasiado rápido como [math] t \ rightarrow \ infty [/ math].
La transformada de Laplace es una transformación lineal. Las transformaciones lineales pueden considerarse como una transformación base cuando la transformación es invertible. Ejemplos rápidos: la transformación que envía
[matemáticas] (1,0) \ mapsto (1,0); (0,1) \ mapsto (1,0) [/ math] no es invertible. La imagen no abarca el dominio, por lo que no puede pensar en esto como una transformación de una base a otra a pesar de que es una transformación lineal.
Entonces, si desea pensar en la transformación de Laplace como una transformación básica, debe preguntar si es invertible . Esto depende en gran medida del espacio que ocupes como dominio. El espacio de dominio no puede incluir funciones de rápido crecimiento como [math] e ^ {t ^ 2} [/ math]. Y realmente tiene sentido pensar en funciones que tienen [math] f (t) = 0 \ forall t <0 [/ math].
Pero incluso para las funciones que tienen transformadas convergentes de Laplace, ¿cómo podemos estar seguros de que la transformación es invertible? Esa es una pregunta difícil que fue respondida por varios matemáticos con la transformación Inverse Laplace. Comprender por qué funciona la transformación inversa de Laplace requiere comprender la integración compleja del contorno, pero es realmente ingenioso.
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Básicamente, hay un espacio vectorial de funciones (¡no todas las funciones!) (Se llama [math] L ^ \ infty (0, \ infty) [/ math] o algo así) para el cual la transformada de Laplace es invertible. Luego, la transformación inversa de Laplace dice que las funciones [matemáticas] \ {e ^ {st}: s \ en C \} [/ matemáticas] abarcan este espacio.