¿Se puede definir un vector en un espacio vectorial sobre un campo que tiene un solo componente o es entonces solo un elemento del campo?

Answer 1

Por supuesto, puede definir un espacio (unidimensional) de vectores con un solo componente. Se puede tratar como idéntico al campo subyacente. Pero también puedes tener una distinción mezquina.

Por ejemplo, si considera espacios vectoriales de polinomios con coeficientes reales, el espacio [math] \ {cx \ mid c \ in \ mathbb R \} [/ math] es unidimensional. Obviamente, esto no es [math] \ mathbb R [/ math], idénticamente. Pero, por supuesto, puede tratarlo como un campo isomorfo a [math] \ mathbb R [/ math].

Del mismo modo, si tiene un espacio vectorial con vectores representados como tuplas (con respecto a alguna base), puede considerar los diferentes subespacios correspondientes a vectores con un solo componente distinto de cero. Una vez más, todos estos pueden ser tratados como campos (isomórficos entre sí y para el campo subyacente), pero en realidad son subespacios diferentes, y eso es muy relevante.

Answer 2

Al decir que quiere “definir un vector en un espacio vectorial sobre un campo”, entonces declara que el espacio vectorial ya está dado. El número de componentes que necesita depende solo de este espacio vectorial, es la dimensión del espacio vectorial. Puede ser cualquier número desde cero, también uno, y también cualquier cardenal infinito.

Si solo se proporciona el campo y desea definir vectores sobre ese campo con un solo componente, es posible. De hecho, el campo en sí es un espacio vectorial sobre sí mismo. Puede definir muchos más espacios vectoriales unidimensionales sobre ese campo, pero todos son isomorfos.

Answer 3

Sí, un campo es un espacio vectorial sobre sí mismo (o sobre cualquiera de sus subcampos).

Por ejemplo, C es un espacio vectorial sobre C o R