Como puede ver en la imagen a continuación, la proyección ortogonal de [math] \ vec A [/ math] en [math] \ vec B [/ math] tiene una longitud [math] | \ vec A | \, \ cos \ theta [/matemáticas].
Ahora, [math] \ vec A \ cdot \ vec B = | \ vec A | \, | \ vec B | \, \ cos \ theta [/ math], lo que significa que estamos escalando el vector [math] \ vec B [/ math] por un factor igual a la longitud de la proyección de [math] \ vec A [/ math] en [math] \ vec B [/ math].
Por otro lado, también podemos interpretar [matemáticas] | \ vec A | \, | \ vec B | \, \ cos \ theta [/ matemáticas] como [matemáticas] | \ vec A | \, (| \ vec B | \, \ cos \ theta) [/ math], de modo que el vector [math] \ vec A [/ math] está siendo escalado por un factor igual a la longitud de la proyección de [math] \ vec B [/ math ] en [matemáticas] \ vec A [/ matemáticas].
Estas interpretaciones son un poco forzadas, y no tan útiles para nuestra intuición. Sin embargo, nos ayudan a calcular la proyección ortogonal de un vector sobre otro. Observe que la proyección ortogonal de [math] \ vec A [/ math] en [math] \ vec B [/ math] es
[matemáticas] \ dfrac {\ vec A \ cdot \ vec B} {| \ vec B |} [/ matemáticas].
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Yendo más allá de la misma manera, también podemos calcular el ángulo entre los dos vectores como [math] \ cos ^ {- 1} \ left (\ dfrac {\ vec A \ cdot \ vec B} {| \ vec A | \ , | \ vec B |} \ right) [/ math]. Esto es especialmente importante ya que nos dice que dos vectores son ortogonales (mutuamente perpendiculares) si su producto escalar es [math] 0 [/ math]. Esto, de hecho, se convierte en la definición de vectores ortogonales cuando consideramos espacios vectoriales generales con una versión más general del producto punto (llamado producto interno ). Por ejemplo, podemos definir la ortogonalidad de las funciones.
El producto cruzado tiene una interpretación geométrica mucho más simple. La magnitud del producto cruzado de dos vectores es el área del paralelogramo con los dos vectores como lados adyacentes, y la dirección es perpendicular a ambos vectores (donde la dirección exacta se decide por la regla de la derecha). En física, el producto cruzado es particularmente útil cuando hay algún objeto giratorio (un cuerpo rígido, un fluido circulante, un campo magnético o eléctrico, etc.) con un eje de rotación; entonces generalmente hay una cantidad asociada importante (par, rizo, etc.) definido usando el producto transversal, de tal manera que la dirección sea la misma que la del eje de rotación.