¿Cuál es la alegría de aprender álgebra lineal?

Answer 1

Ya hay algunas buenas respuestas a esta pregunta, así que creo que responderé dando una linda aplicación de álgebra lineal sobre el campo finito [math] \ mathbb {F} _3 [/ math]. Si no está familiarizado con este campo, consta de tres elementos: [matemática] \ {0, 1, 2 \} [/ matemática], con la convención de que si suma, resta o multiplica, reduce la respuesta mod 3. Entonces, por ejemplo [matemáticas] 2 * 2 = 4 = 1 [/ matemáticas], [matemáticas] 1 + 2 = 3 = 0 [/ matemáticas]. El álgebra lineal sobre este campo funciona más o menos exactamente como lo hace para el álgebra lineal sobre [math] \ mathbb {R} [/ math] y [math] \ mathbb {C} [/ math].

Ahora, déjame continuar con lo que puede parecer un non sequitur y hablar sobre el juego de cartas Set (Set (juego)). Cada carta en Set tiene una ilustración de uno, dos, o tres o tres símbolos (que vienen en tres variedades diferentes). Estos símbolos pueden ser verdes, azules o morados. Finalmente, se pueden colorear como un contorno, sombreados o sólidos. Aquí hay una foto:

El juego se juega colocando 12 cartas y buscando una colección de tres cartas llamadas “set”. Tres cartas son un “conjunto” si, para cada uno de sus atributos (número, símbolo, color, estilo de sombreado), las tres cartas son iguales o todas son diferentes.

Así, por ejemplo, la imagen que se muestra arriba sería un conjunto (los números son todos diferentes, los símbolos son todos diferentes, los colores son diferentes y los estilos de sombreado son todos diferentes). Pero también podríamos, por ejemplo, tener el mismo ejemplo, pero hacerlo de manera que haya tres símbolos en cada tarjeta; esto todavía funcionaría.

Quien recoge la mayor cantidad de sets gana. Simple, y a primera vista no parece especialmente matemático. ¡Pero eso no es así!

Puede asociar cada tarjeta a un vector en el espacio vectorial de cuatro dimensiones sobre [math] \ mathbb {F} _3 [/ math]. El número de símbolos será una coordenada, los símbolos mismos (digamos, 0 = rombo, 1 = cosa ondulada, 2 = ovoide rectangular), el color otro y el tipo de sombreado otro.

¡Entonces es muy fácil comprobar que un conjunto es solo una colección de tres vectores que suman el vector cero! Ahora que es una descripción hermosa, y de repente significa que podemos usar las herramientas de álgebra lineal para responder preguntas sobre el juego Set. Por ejemplo, ¿cuántas tarjetas tiene que pasar para asegurarse de obtener un juego? (21 cartas). Y pensarlo de esta manera hace que sea un poco más fácil ser realmente absurdamente bueno en el juego. Nunca jugué lo suficiente como para ser decente, pero he conocido a algunos jugadores absolutamente monstruosos (todos ellos doctorados en matemáticas ahora).

Si desea leer un poco más sobre los antecedentes matemáticos de Set, le sugiero que mire aquí: Página en rutgers.edu. (Parece que el enlace original está muerto. JSTOR tiene este artículo, si no me equivoco, pero desafortunadamente debe pagar para descargarlo).

Answer 2

El álgebra lineal es el “Big Data” original. Como humanos, realmente no podemos pensar en grandes colecciones de cosas muy fácilmente sin eliminar parte de la complejidad. Podemos visualizar un espacio de 2 o 3 dimensiones, pero 4 o más está más allá de nuestra capacidad. El cálculo matemático que se realiza en un algoritmo de aprendizaje automático también suele estar mucho más allá de nuestras habilidades de visualización insignificantes. Tome una red neuronal, que en un momento dado representa una función matemática (muy compleja). No podemos imaginar fácilmente lo que está sucediendo, si hay miles de entradas y unidades ocultas y millones de “pesos” (parámetros) en el modelo.

El álgebra lineal es la mejor herramienta que tenemos. Viene con su propio lenguaje y operaciones (producto de puntos, multiplicación de matrices, factorizaciones de matrices) y varios conceptos emergentes (vectores propios, valores singulares) que no parecen importantes hasta que los haya usado intensamente. No es una forma intuitiva para nosotros pensar. Las operaciones escalares (adición de ol regular, multiplicación) son algo que hemos tenido que hacer en la naturaleza, pero los espacios vectoriales de alta dimensión no son naturales para nosotros. El lenguaje compacto del álgebra lineal – [matemática] (X ^ TX) ^ {- 1} Xy [/ matemática] es la representación de una solución de mínimos cuadrados ordinarios– no es como cualquier cosa que veríamos en el día a día vida si no fuéramos matemáticos. Aún así, son la mejor manera de representar una gran variedad de problemas matemáticos (especialmente en la optimización, una rama de las matemáticas aplicadas a menudo poco explorada pero profundamente importante) donde el número de variables está mucho más allá de lo que podemos tener en la memoria a corto plazo (cinco a diez) y se necesita algún tipo de representación compacta para dar un sentido de alto nivel a la computación (que las máquinas, en estos días, pueden realizar fácilmente).

El álgebra lineal también inspira otras áreas de las matemáticas, como la teoría de grupos y la probabilidad, que es una de las principales inspiraciones en la teoría de la medida. Además, lo necesitará absolutamente si desea utilizar la física a nivel de pregrado (o posgrado). La buena noticia es que muchas cosas en física se vuelven más claras cuando entiendes álgebra lineal. Por ejemplo, la “regla de la mano derecha” para determinar la dirección de una fuerza magnética es solo un producto cruzado.

Answer 3

Cuando descubres cómo las cosas que aprendiste en abstracto en álgebra lineal se vuelven “reales” cuando estudias sistemas dinámicos, incluso sistemas no lineales, y te dicen cosas fundamentales sobre cómo se comporta el sistema en ciertos puntos. Cuando descubres la belleza y la importancia de los espacios vectoriales y otros espacios más abstractos. Cuando aprende cómo funcionan las matrices para formar grupos, y la importancia de los grupos y la simetría a lo largo de las matemáticas y más allá. Esos son algunos de los momentos en los que sentirás la alegría de haber aprendido álgebra lineal. Cuando las cosas aparentemente dispares están unidas por un marco de teoría tan básico (fundamental).

Es una pena que las matemáticas se enseñen a menudo introduciendo una pila abstracta de teoría, desconectada de la aplicación o de la historia de su desarrollo. Tal vez sea un esfuerzo reducirlo al mínimo necesario para impulsar a los estudiantes, pero creo que tiene un gran costo, porque es solo basura abstracta que los estudiantes no entienden y olvidarán más rápido de lo que aprendieron sin comprender por qué podría haber sido importante.

Answer 4

La alegría de descubrir, ver la belleza, comprender cómo pensar lógicamente.

En todas las ciencias existe la alegría de descubrir algo que es, ha sido y será, algo que no es una opinión o una cuestión de gustos, no temporal. Es que “¡ah, ja!” momento en el que ves aprender algo que se basa en lo que sabes y es un componente básico para otras cosas. Todavía recuerdo el “¡ah, ja!” momento que tuve en la secundaria aprendiendo cálculo. Nos habían enseñado derivación para una parábola. Me senté en la biblioteca durante la hora del almuerzo tratando de darle sentido. Todas las piezas estaban en la página, pero no lo “entendí”. Entonces en un instante lo entendí. Ah ja! He tenido muchos otros descubrimientos, pero ninguno tan memorable como ese.

En matemáticas hay una gran belleza. Es comparable a escuchar música hermosa o ver a una persona hermosa. Está allí en álgebra lineal tan seguramente como cualquier otra rama de las matemáticas.

Mi aprendizaje de álgebra lineal, te ayudará a pensar lógicamente, te ayudará a entender cosas aparentemente no relacionadas porque sabes cómo (o cómo) mirar las cosas.

Answer 5

Todas las respuestas son geniales. Solo quiero agregar que aprendes álgebra lineal porque el álgebra lineal se entiende bien y muchos problemas matemáticos se pueden resolver precisamente porque se reducen a problemas de álgebra lineal. Ver este hecho traerá alegría y una sensación de estar decepcionado : alegría de que el álgebra lineal sea mucho más poderosa de lo que imaginaste, decepcionado de que realmente no sepamos cómo abordar problemas difíciles.

Cf. Teoría de la representación de grupos infinitos, modelos lineales generales en estadística, optimización, etc.

Answer 6

Mi experiencia es similar a la de Falk y Quintella: cuando tomé Álgebra lineal inmediatamente después del cálculo AP (en Wesleyan, era un requisito previo para el cálculo multivariable), lo encontré increíblemente aburrido. Fue solo más tarde cuando vi lo fundamental que es para todo tipo de matemáticas. (Entiendo que esto es cierto para la física, la química, algunos campos de ingeniería y otros). Por ejemplo, las soluciones a una ecuación diferencial lineal homogénea forman un espacio vectorial.

Algún día, me gustaría terminar de leer los espacios vectoriales de dimensiones finitas de Halmos. Por lo que puedo decir, eso es realmente álgebra lineal bien hecho.

Answer 7

Mi humilde experiencia como estudiante de ingeniería de sistemas. Para mí, el álgebra lineal era lo más aburrido y sin sentido del pensamiento de mi carrera. Luego decidí programar una aplicación accesible en línea para resolver problemas comunes electrostáticos para un concurso de programación. Tuve que usar matrices de datos de matriz simétrica y descubrí que el álgebra lineal abre la posibilidad de que todas las dimensiones que necesita para resolver problemas, todas las cosas que parecían demasiado obvias en papel, fueran necesarias en detalle en el código. Espero que esto ayude.

Answer 8

El álgebra lineal es una parte esencial de las matemáticas de la mecánica cuántica. Por lo tanto, es esencial si desea una base para comprender la comprensión actual de la naturaleza en un nivel fundamental.

Answer 9

Los vectores y las matrices pueden parecer un tema seco al principio, pero son muy importantes si alguna vez quieres hacer algo con sistemas de ecuaciones diferenciales o cálculos multidimensionales. Además, los conceptos de descomposición de vectores propios son muy importantes en muchas áreas de la física, así como en las matemáticas mismas. Es realmente un elemento fundamental que debes aprender en el primer año de tu curso universitario.

Answer 10

Si es alegría o no, es completamente subjetivo, y la respuesta será diferente para todos.

Answer 11

Encuentro lo que parece “intuitivo” crece a medida que crece nuestra base de habilidades y conocimientos.

La alegría para mí es cuando las cosas que parecían complejas se vuelven intuitivas.

Answer 12

¿Cuál es la alegría de aprender además? ¿Por qué detenerse en ello? Es básico, solo aprendelo.