¿Por qué el número de vectores de columna linealmente independientes de una matriz es igual al número de vectores de fila linealmente independientes?

Answer 1

Es útil pensar en la matriz como una transformación lineal en lugar de solo como una cuadrícula de números. ¿Cómo deberías pensar en los vectores de columna? Use las reglas de multiplicación de matriz estándar para aplicar la matriz a los vectores de base estándar (por ejemplo, [matemáticas] \ begin {pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \ end {pmatrix}, \ begin {pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \ end {pmatrix}, \ begin {pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \ end {pmatrix} [/ math]
en 3 dimensiones). Obtienes los vectores de columna de la matriz. A partir de esta observación, vemos que los vectores de columna de la matriz abarcan la imagen de esta transformación lineal, por lo que, en este lenguaje, el número de vectores de columna linealmente independientes es solo la dimensión de la imagen de la transformación lineal.

¿Qué pasa con los vectores de fila? Bueno, los vectores de fila de una matriz son solo los vectores de columna de su transposición, por lo que podemos reformular su pregunta de una manera más simple: ¿Por qué la dimensión de la imagen de una transformación lineal es la misma que la dimensión de la imagen de su transposición? ?

Necesitaremos dos hechos sobre la transposición de matrices. El primer hecho es que si v y w son vectores de columna, entonces [math] v ^ Tw [/ math] es solo el producto escalar de v y w. El segundo hecho es que si A y B son dos matrices que se pueden multiplicar, entonces [matemática] (AB) ^ T = B ^ TA ^ T [/ matemática]. Asegúrese de ver por qué estos hechos son ciertos.

Volviendo a la pregunta: ¿Cómo podemos relacionar la imagen de una matriz A con la imagen de su transposición? Consideremos un vector [matemático] Av [/ matemático] en la imagen de A, y veamos qué sucede cuando le aplicamos [matemático] A ^ T [/ matemático]. Afirmo que la salida de esta operación, [math] A ^ TAv [/ math], es cero si y solo si la entrada [math] Av [/ math] fue cero. De hecho, si [matemáticas] A ^ TAv = 0 [/ matemáticas], entonces [matemáticas] v ^ TA ^ TAv = 0 [/ matemáticas] también. Pero
[matemáticas] v ^ TA ^ TAv = (Av) ^ T (Av) = (Av) \ cdot (Av) = \ lVert Av \ rVert ^ 2. [/ math]
Si eso es cero, entonces [math] Av [/ math] es cero.

Entonces, sabemos que si tomamos un vector distinto de cero en la imagen de A y lo introducimos en [matemáticas] A ^ T [/ matemáticas], obtenemos un vector distinto de cero en la imagen de [matemáticas] A ^ T [/ matemáticas] . Dado que podemos incluir la imagen de A en la imagen de [matemáticas] A ^ T [/ matemáticas], significa que la dimensión de la imagen de [matemáticas] A ^ T [/ matemáticas] es al menos tan grande como la dimensión de la imagen de A. Intercambiando A y [matemáticas] A ^ T [/ matemáticas] en la prueba anterior, podríamos demostrar que la dimensión de la imagen de A es al menos tan grande como la dimensión de la imagen de [matemáticas] A ^ T [/ math], lo que significa que las dos dimensiones deben ser iguales, como se desee.

Answer 2

La pregunta es equivalente a: demostrar que el rango de una matriz y su transposición son los mismos ( suponiendo que el “por qué” no tiene un sentido filosófico o intuitivo ).
Sabemos que el rango de una matriz es la dimensión del espacio de columna (rango) de la matriz. Se puede demostrar que la dimensión del espacio de la columna y la dimensión del espacio de la fila son iguales.

Prueba: Sea [math] A [/ math] una matriz [math] m \ times n [/ math] con rango [math] r [/ math]. Considere una matriz [math] L_ {m \ times r} [/ math] que está formada por las columnas [math] r [/ math] de [math] A [/ math] que forman las bases (vectores). Mediante la construcción de [math] L [/ math], cada columna de [math] A [/ math] puede escribirse como una combinación lineal de las columnas de [math] L [/ math], es decir, existe una matriz [math] Z_ {r \ times n} [/ math] tal que [math] A = LZ [/ math]. Esto significa que cada fila de [matemáticas] A [/ matemáticas] se puede escribir como una combinación lineal de las filas [matemáticas] r [/ matemáticas] de [matemáticas] Z [/ matemáticas], es decir, el espacio de filas de [matemáticas] A [/ math] se extiende por las filas de [math] Z [/ math]. Es decir, el rango de fila de [math] A [/ math] está limitado anteriormente por [math] r [/ math].
Además, [matemáticas] A ^ T = Z ^ TL ^ T [/ matemáticas]. Claramente, el rango de [matemáticas] Z ^ TL ^ T [/ matemáticas] está contenido en el rango de [matemáticas] Z ^ T [/ matemáticas]. Entonces, el rango de [matemáticas] A ^ T [/ matemáticas] es como máximo el rango de [matemáticas] A [/ matemáticas].
Este argumento es válido para cualquier matriz.
Usando el argumento anterior y un argumento similar que comienza con [math] A ^ T [/ math], concluimos que la transposición no cambia el rango de la matriz. [matemáticas] \ cuadrado [/ matemáticas]

Answer 3

¿Sería obvia la respuesta si estuviera mirando una matriz diagonal? ¿Qué tal una matriz triangular inferior?

Las matrices con la misma “forma normal” comparten ciertas características, como al menos rango. Entonces, ¿cómo se manipula una matriz en alguna forma normal?

Las transformaciones matriciales parecen un tema que debes estudiar a continuación.