Dado lo siguiente [math] 5 \ times 5 [/ math] matrix [math] M = \ left [\ begin {array} {ccccc} 0 & -1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \ end {array} \ right] [/ math], ¿cómo puede Demuestro que existe un número entero positivo [matemática] k [/ matemática] tal que [matemática] M ^ k = I_ {5 \ veces 5} [/ matemática]?

Answer 1

Como puede ver fácilmente [matemática] M [/ matemática] es una matriz diagonal de bloque:

[matemáticas] M = \ begin {pmatrix} A & 0_ {2 \ times 3} \\ 0_ {3 \ times 2} & B \ end {pmatrix} [/ math]

con

[matemática] A: = \ begin {pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \ end {pmatrix} [/ math]

y

[matemática] B: = \ begin {pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \ end {pmatrix} [/ math]

Entonces, los poderes de [matemáticas] M [/ matemáticas] se pueden escribir en poderes de [matemáticas] A [/ matemáticas] y [matemáticas] B [/ matemáticas]:

[matemáticas] M ^ n = \ begin {pmatrix} A ^ n & 0_ {2 \ times 3} \\ 0_ {3 \ times 2} & B ^ n \ end {pmatrix} [/ math]

Además, uno puede ver que [matemáticas] [/ matemáticas]

[matemáticas] A ^ 2 = -I_ {2 \ veces 2} \ Flecha de flecha A ^ 4 = I_ {2 \ veces 2} [/ matemáticas].

Como [math] B [/ math] es una matriz de permutación, tiene como miembro del grupo simétrico [math] S_3 [/ math] un orden, que es 3 en este caso, es decir, [math] B ^ 3 = I_ {3 \ times 3} [/ math] y no hay un número positivo más bajo que 3 usado como exponente para cumplir con esta ecuación. Ahora tome k como el mínimo común múltiplo de 3 y 4, que es 12, y obtendrá como posible solución

[matemáticas] M ^ {12} = I_ {5 \ veces 5} [/ matemáticas]

[matemáticas] k = 12 [/ matemáticas] es el número más bajo que resuelve el problema. Cada [matemática] n \ equiv 0 \! \! \ Mod \! 12 [/ math] también es una solución.

Answer 2

Aprovechando la observación de Brian Bi, encontrar un valor específico de [math] k [/ math] es tan sencillo como demostrar que existe. Se puede observar que [matemática] M ^ 2 [/ matemática] deja los dos primeros componentes de cualquier vector en su lugar pero voltea ambos signos. Por lo tanto, [math] M ^ 4 [/ math] deja solo los dos primeros componentes.

[math] M [/ math] gira los últimos tres componentes de cualquier vector. Es bastante sencillo argumentar que esta rotación tiene el orden 3, es decir, para todos [math] n [/ math], [math] M ^ {3n} [/ math] actúa como la permutación de identidad en los últimos tres componentes. Por lo tanto…

Answer 3

[matemática] M [/ matemática] consta de dos componentes que actúan independientemente: en las dos primeras coordenadas, activa una rotación de 90 grados (cancelando después de 4 iteraciones), mientras que en las últimas tres coordenadas, activa una rotación de 120 grados (cancelando fuera después de 3 iteraciones). Como el mínimo común múltiplo de 3 y 4 es 12, encontramos que [matemática] M ^ k [/ matemática] es la identidad precisamente cuando [matemática] k [/ matemática] es un múltiplo de 12.

Answer 4

La matriz consiste básicamente en dos bloques. El primer bloque 2 * 2 gira 90 grados juntos, y el segundo bloque, que es una matriz 3 * 3, una matriz de permutación uniforme (x = y = z), y así gira cualquier sistema 120 grados. Todos juntos, el primer bloque crea una identidad 2 * 2 con 4 rotaciones y el segundo bloque dará una matriz de identidad 3 * 3 después de 3 rotaciones. Entonces, la matriz M será una matriz de identidad después de 12 (3 * 4) rotaciones. Y para todos los valores k = 12n (n es un entero positivo), M ^ k será una matriz de identidad.

Sin embargo, este problema puede probarse manualmente, pero probablemente requeriría un cálculo riguroso. 🙁

Nuevamente, puede codificar para validar la solución y mientras codifica ver los cambios de la matriz M.

Answer 5

Así es como puede probar esto sin hacer ningún cálculo. Tenga en cuenta que

[matemáticas] M \ left [\ begin {array} {c} a \\ b \\ c \\ d \\ e \ end {array} \ right] = \ left [\ begin {array} {c} -b \\ a \\ e \\ c \\ d \ end {array} \ right] [/ math]

Es decir, [math] M [/ math] permuta las entradas del vector sobre el que actúa y luego voltea uno de los signos. Claramente, el vector original siempre se puede recuperar, por lo tanto, [matemática] M [/ matemática] es invertible. Ahora, para cada vector base [math] e_i [/ ​​math] (i = 1, …, 5), considere la secuencia [math] e_i, Me_i, M ^ 2 e_i, \ ldots [/ math]. Cada vector en esta secuencia contiene los cinco componentes originales en algún orden con algunos signos invertidos. Hay a lo sumo [matemáticas] 5! 2 ^ 5 [/ matemáticas] diferentes posibilidades: un número finito , por lo que eventualmente debe haber una repetición: es decir, [matemáticas] M ^ {m_i} e_i = M ^ {n_i} e_i [/ ​​matemáticas] para [matemáticas] m_i

Ahora deje que [math] k = \ underset {i = 1, \ ldots, 5} {\ operatorname {lcm}} n_i – m_i [/ ​​math]. Como [math] M ^ k [/ math] es una potencia de cada [math] M ^ {n_i – m_i} [/ math], tenemos [math] M ^ k e_i = e_i [/ ​​math] para cada [math ] i [/ matemáticas]. Esto establece que [matemáticas] M ^ k = I [/ matemáticas].

Answer 6

Observe que las raíces del polinomio característico son todas raíces de unidad, lo que significa que cada una de ellas se convierte en 1 si se eleva a la potencia adecuada. ¿Qué son esos poderes? ¿Hay un poder que funcione para todos ellos? ¿Puedes probar que el polinomio característico divide [matemática] X ^ m-1 [/ matemática] para este poder apropiado? ¿Qué dice esto sobre la matriz [matemática] M ^ m [/ matemática]?

Answer 7

Muchas buenas respuestas aquí, déjame agregar mi respuesta también. Podemos escribir [matemática] M [/ matemática] como [matemática] M = \ Pi N [/ matemática] donde [matemática] \ Pi [/ matemática] es una matriz de permutación que intercambia las columnas primera y segunda y reordena las columnas 345 a 534. Está claro que [math] N ^ 2 = I_ {5 \ times 5} [/ math]. [math] \ Pi [/ math] puede considerarse como un elemento de grupo simétrico que puede escribirse en la notación cíclica como [math] (12) (345) [/ math], por lo tanto, vemos que el orden de [ math] \ Pi [/ math] es 6, que es divisible por 2 (orden de [math] N [/ math]). Por lo tanto, [math] M ^ 6 = I_ {5 \ times 5} [/ math].

Answer 8

La idea básica, como han aludido otros respondedores, es que la matriz es una suma directa de dos matrices más pequeñas:

[matemáticas] B = \ begin {bmatrix} 0 & -1 \\\\ 1 & 0 \ end {bmatrix} [/ math]

y
[matemática] C = \ begin {bmatrix} 0 & 0 & 1 \\\\ 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 \ end {bmatrix} [/ math]

y
[matemáticas] M = B \ bigoplus C [/ matemáticas]

Del mismo modo, cualquier poder de M lleva a través de:
[matemáticas] M ^ k = B ^ k \ bigoplus C ^ k [/ matemáticas]

Como [math] B ^ 2 = I_2 [/ math] y [math] C ^ 3 = I_3 [/ math] (matrices de identidad de dimensiones 2 y 3 respectivamente), tenemos que

[matemáticas] M ^ 6 = I_5 [/ matemáticas]

Answer 9

EDIT2 Después de iterar unos pocos, diga k (creo que n = 5 es el menor valor), veces, todos los términos de

[matemáticas] M ^ n (a, b, c, d, e) ^ {T} [/ matemáticas]

son [matemáticas] \ geq 0 [/ matemáticas], es decir, cada uno de a, b, c, d, e en [matemáticas] M ^ n (a, b, c, d, e) ^ T [/ matemáticas] tiene el mismo signo que a, b, c, d, e respectivamente.

Esto significa que [matemática] M ^ n [/ matemática] es una matriz de permutación,

un elemento del grupo finito [matemática] S_5 [/ matemática], entonces [matemática] M ^ n [/ matemática] tiene un orden finito O,

entonces M tiene orden nO.

Answer 10

En este caso, simplemente puede establecer [math] k = 12 [/ math] y ver explícitamente que obtiene:

[matemáticas] M ^ {12} = I [/ matemáticas]

Ah, y por supuesto, todos los múltiplos de 12 son también soluciones, por lo que la respuesta es [matemáticas] k = 12n [/ matemáticas], para todos los enteros [matemáticas] n [/ matemáticas]. Y dado que los ciclos de la matriz, también es fácil ver que no hay otras soluciones.

Answer 11

Considere el subgrupo finito de [math] \ text {GL} _5 (\ mathbb R) [/ math] generado por permutaciones y multiplicaciones de fila por [math] -1 [/ math]. [math] M [/ math] está en este grupo y, por lo tanto, es de orden finito.

Answer 12

EDITAR: Primero lea la respuesta de Brian Bi. Si por alguna razón esa respuesta no se descarga, póngase en contacto con el servicio de atención al usuario de Quora y solicite que solucionen el problema. Si no pueden conseguirte una copia, entonces tal vez lea a continuación …

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Sugerencia: Eche un vistazo a [matemáticas] M ^ 2 [/ matemáticas] y piénselo.