Cómo demostrar que [math] \ operatorname {rank} (AB) = \ operatorname {rank} (B) – \ operatorname {dim} (\ operatorname {Nul} (A) \ cap \ operatorname {Col} (B)) [/matemáticas]

Answer 1

Como con la mayoría de los resultados en álgebra lineal elemental, la prueba se trata de la geometría de los mapas lineales. Para mayor claridad, supongamos que
[math] \ begin {matrix} B: \ mathbb {R} ^ m & \ rightarrow \ mathbb {R} ^ n \\ A: \ mathbb {R} ^ n & \ rightarrow \ mathbb {R} ^ p \ end {matriz} [/ matemáticas]

En este caso, recuerde que [math] AB = A \ circ B [/ math] es el mapa lineal obtenido al hacer [math] B [/ math] primero, y luego al hacer [math] A [/ math]. Sabemos que el rango de [math] B [/ math], también conocido como [math] \ operatorname {Col} (B) [/ math], es un subespacio lineal de [math] \ mathbb {R} ^ n [ / math], y este subespacio es isomorfo a [math] \ mathbb {R} ^ k [/ math] para algunos [math] k [/ math]. Este isomorfismo hace que la acción de [math] A [/ math] en [math] \ operatorname {Col} (B) [/ math] sea isomorfa a una matriz [math] p \ times k [/ math] [math] \ tilde {A} [/ matemáticas].

Ahora, según el teorema habitual de nulidad de rango, el rango de [math] \ tilde {A} [/ math] es igual a [math] k [/ math] menos la dimensión del espacio nulo de [math] \ tilde {A} [/ math], que es solo la dimensión de la intersección del espacio nulo de nuestro mapa original [math] A [/ math] con el subespacio que consiste en el rango de [math] B [/ math]. Esta es la declaración que queríamos probar.

O en un inglés más legible para los humanos: [math] B [/ math] mata cierto número de dimensiones. [matemática] A [/ matemática] puede matar un poco más, pero si lo hace, provienen del rango de [matemática] B [/ matemática]. Cualquier dimensión que mate [math] A [/ math] que ya sea ortogonal al rango de [math] B [/ math] se ignora al calcular el número de dimensiones que mata [math] AB [/ math].

Answer 2

[matemáticas] Im AB \ cong \ left. ImB \ middle / (ImB \ cap KerA) \ right. [/ Math]