¿Cuál es la diferencia entre una transformación matricial y una transformación lineal?

Answer 1

Una transformación matricial es una transformación lineal que está determinada por una matriz junto con bases para los espacios vectoriales.

Sin embargo, las bases deben incluirse como parte de la información, ya que (1) la misma matriz describe diferentes transformaciones lineales cuando se consideran diferentes bases, y (2) la misma transformación lineal es descrita por diferentes matrices cuando se consideran diferentes bases.

Espacios vectoriales generales

Una transformación lineal [matemática] T: V \ a W [/ matemática] es una función de un espacio vectorial a otro que conserva combinaciones lineales, de manera equivalente, conserva la suma y la multiplicación escalar.

Si tiene una base específica [math] \ {\ mathbf v_j \} [/ math] para [math] V [/ math] y otra base especificada [math] \ {\ mathbf w_i \} [/ math] para [math ] W, [/ math] luego [math] T [/ math] está determinado por sus valores con respecto a esas bases

[matemáticas] T (\ mathbf v_j) = \ sum_j a_ {ij} \ mathbf w_i [/ ​​math]

ya que cada elemento de [math] V [/ math] es una combinación lineal única de la base de [math] V. [/ math]

El conjunto doblemente indexado de escalares [math] \ {a_ {ij} \} [/ math] es una matriz. Si la dimensión de [matemática] V [/ matemática] es [matemática] n, [/ matemática] y la dimensión de [matemática] W [/ matemática] es [matemática] m, [/ matemática] esta matriz se muestra en una [matemática] m \ veces n [/ matemática] matriz rectangular.

Por el contrario, dicha matriz junto con las bases de los espacios vectoriales determina una transformación lineal única.

Tenga en cuenta que la transformación lineal que obtiene depende de las bases de los espacios vectoriales.

Espacios vectoriales estándar

Los espacios vectoriales [math] \ mathbf R ^ n [/ math] y [math] \ mathbf R ^ m [/ math] tienen bases canónicas, por lo que con respecto a esas bases canónicas, [math] m \ times n [/ math ] las matrices están en una correspondencia uno a uno con transformaciones lineales [math] \ mathbf R ^ n \ to \ mathbf R ^ m. [/ math]

Answer 2

No mucha diferencia.

Las matrices son de tamaño finito y, por lo tanto, representan una transformación lineal de dimensión finita. Sin embargo, también hay transformaciones lineales dimensionales infinitas. Un ejemplo popular es el operador derivado. Esta propiedad se usa mucho en mecánica cuántica.

Answer 3

A2A por Bijan Massoumi

Si entiendo la pregunta correctamente, ninguno.

Debido a que las matrices son una técnica conveniente para describir las transformaciones lineales en el marco cartesiano, una transformación lineal se puede denominar en este contexto como “transformación de matriz”.

Puedo estar equivocado, pero ese es mi recuerdo de lo que era cuando lo estudié.