¿El álgebra lineal es la clave para todos los campos matemáticos?

Answer 1

Álgebra lineal es la primera introducción a dos conceptos para estudiantes:

• multiplicación que no necesariamente puede ser conmutativa
• tomando muchas variables / dimensiones / bases y tratándolas como un todo

En ese sentido, el álgebra lineal es otro paso en la escalera, pero es el punto de ramificación perfecto para cosas como la teoría de categorías, la teoría de grupos, las estadísticas, las matemáticas aplicadas (especialmente en el ámbito de la física y la ingeniería) y la topología.

Ahora, CADA UNO de esos temas se puede aprender sin Álgebra Lineal, pero son difíciles de aprender con intuiciones incorrectas, y como los números (que son conmutativos) son nuestras primeras intuiciones de matemáticas, entonces Álgebra Lineal hace un buen lugar para comenzar a aprender sobre los muchos tipos de objetos que existen en las matemáticas, y para comenzar a observar algunas estructuras grandes y complicadas, y encontrar formas de pensar sobre ellas de manera más abstracta.

---

Ahora, en mi humilde opinión, yo (y otros) pensamos que hay formas de introducir algunos conceptos antes de lo que lo hacemos en la educación matemática, pero debido a que hay un gran enfoque en las matemáticas aplicadas durante la educación temprana, se hace difícil introducir los tipos de conceptos que ayudarían.

---

Sin embargo, el álgebra lineal no es “la clave” para todos los campos matemáticos. La matemática fundamental es “la clave” de todos los campos matemáticos. Con el Univalence Axiom, podemos tener un medio para codificar casi todas las estructuras matemáticas, ya sea axiomáticamente, y muchas de ellas de manera constructiva. Lo bueno de esto es la unificación de la lógica, la informática, la teoría de categorías, las matemáticas fundamentales y la topología como si fueran el mismo tema de estudio.

Sin embargo, por hermoso que sea … el trabajo sobre los Fundamentos de las Matemáticas está lejos de ser completo. Hay sistemas lógicos más fundamentales que HoTT, y posiblemente un número infinito de ellos.

Answer 2

No estoy de acuerdo con las otras respuestas. Creo que Algebra es extremadamente fundamental y extremadamente útil, y en mi opinión, uno de los campos matemáticos más ingeniosamente simples y simplemente hermosos que existen. Sus herramientas son clave y se utilizan en muchos problemas, a menudo necesitan manipulación algebraica. El álgebra tiene varios campos de estudio diferentes, como la geometría algebraica, el álgebra lineal, la teoría de números algebraicos, la combinatoria algebraica, etc. Una de las cosas hermosas de los campos fundamentales es que a veces los problemas muy complejos pueden ser partes más simples de axiomas algebraicos hermosos. Mire la teoría de números, un campo significativo de estudio de las matemáticas, sin embargo, se basa en los conceptos simples de enteros y números primos. Tales conceptos han abierto enormes campos de estudio, que muestran no solo la profundidad oculta de lo que podría parecer simple, sino la fuerza asombrosamente innovadora y penetrante que tiene la mente humana.

Answer 3

Difícil de decir, a menos que uno sea un experto en TODO el campo de las matemáticas. Pero seguro que es un tema muy útil e interesante para estudiar y encontrar la respuesta a la pregunta.

Answer 4

Álgebra es. El álgebra es la gramática de las matemáticas.
Pero el álgebra lineal no lo es. Tengo una licenciatura y una maestría en matemáticas y solo usé álgebra lineal cuando tomé el curso.

Answer 5

No, pero seguro aparece en muchos lugares diferentes.