Para llamar a una función particular como una transformación lineal o un mapa lineal, tiene que satisfacer las siguientes propiedades
[matemáticas] 1. T (X + Y) = T (X) + T (Y) [/ matemáticas]
[matemáticas] 2. T (aX) = aT (X) [/ matemáticas]
T es una función, X e Y son vectores, y ‘a’ es un escalar
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Por ejemplo:
[matemáticas] f (x, y, z) = (3x + 3y, 3z, 8y + 2x, 4z) \ tag {3} [/ matemáticas]
Deje que [matemática] X = \ begin {pmatrix} 2 \\ 3 \\ 5 \\ \ end {pmatrix} [/ math] y [math] Y = \ begin {pmatrix} 4 \\ 1 \\ 2 \\ \ end {pmatrix} \\ [/ math]
Por lo tanto, [matemáticas] X + Y = \ begin {pmatrix} 6 \\ 4 \\ 7 \\ \ end {pmatrix} [/ math]
[matemáticas] f (2,3,5) = (15,15,28,20) \ etiqueta * {} [/ matemáticas]
[matemáticas] f (4,1,2) = (15,6,16,8) \ etiqueta * {} [/ matemáticas]
[matemáticas] f (6,4,7) = (30,21,44,28) \ tag * {} [/ matemáticas]
Esto significa que,
[matemáticas] f (6,4,7) = f (2,3,5) + f (4,1,2) \ etiqueta * {} [/ matemáticas]
Deje, a = 2 y [matemáticas] aX = \ begin {pmatrix} 4 \\ 6 \\ 10 \\ \ end {pmatrix} [/ math]
[matemáticas] f (4,6,10) = 2 * f (2,3,5) \ etiqueta * {} [/ matemáticas]
La función anterior satisface las dos propiedades. Entonces, es una transformación lineal.
La función [matemáticas] g (x, y, z) = (x + y, x + 2,0) [/ matemáticas] no es una transformación lineal. No satisface la segunda propiedad de la transformación lineal.
Por ejemplo: [matemáticas] X = \ begin {pmatrix} 2 \\ 3 \\ 5 \\ \ end {pmatrix} [/ math] y [math] a = 0 \\ [/ math]
[matemáticas] aX = \ begin {pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ \ end {pmatrix} \ tag * {} [/ math]
[matemáticas] g (aX) = (0,0,0) \ etiqueta * {} [/ matemáticas]
[matemáticas] g (X) = (5,4,0) \ etiqueta * {} [/ matemáticas]
[matemáticas] g (aX) \ neq a * g (X) \ etiqueta * {} [/ matemáticas]
Del mismo modo, h (x, y, z) = (3xy, x, z) tampoco es una transformación lineal porque contiene un componente no lineal (3xy). Por lo tanto, no satisface las propiedades anteriores. \\
Podemos escribir la función anterior ([matemáticas] f (X) [/ matemáticas]) como
[matemáticas] f (X) = AX \ etiqueta * {} [/ matemáticas]
[matemáticas] = \ begin {ecuación} \ begin {pmatrix} 3 y 3 y 0 \\ 0 y 0 y 3 \\ 2 y 8 y 0 \\ 0 y 0 y 4 \\ \ end {pmatrix} \ begin { pmatrix} x \\ y \\ z \ end {pmatrix} \ end {ecuación} [/ math]
si multiplicamos A y [matemáticas] X [/ matemáticas], obtendremos
[matemáticas] = (3x + 3y, 3z, 8y + 2x, 4z) \ tag * {} [/ matemáticas]
De esta manera, podemos escribir la transformación lineal en términos de matriz. Escribir la función en términos de matriz tiene muchas ventajas. Una de las principales ventajas es que podemos aplicar álgebra matricial para cualquier análisis. Existen diferentes tipos de transformación lineal. Algunas transformaciones lineales son rotación, reflexión, escala y corte.
