¿Cuál es la diferencia entre una norma y una distancia en matemáticas / espacios vectoriales, y siempre puedes definir una distancia desde una norma o viceversa?

Answer 1

Si [math] V [/ math] es un espacio vectorial, entonces la norma ([math] \ | \ cdot \ |: V \ mapsto \ mathbb {R} [/ math]) es una función cuyo dominio es [math] V [/ math] y la distancia (suponiendo que esté hablando de métrica aquí, [math] d (\ cdot, \ cdot): V \ times V \ mapsto \ mathbb {R} [/ math]) es una función cuyo dominio es [ matemáticas] V \ veces V [/ matemáticas].

Considere el conjunto de todas las funciones de distancia [math] \ mathcal {D} = \ {d (x, 0) | \ text {d es una métrica} \} [/ math] y el conjunto de todas las normas [math] \ mathcal {M} [/ math]. ¿Hay un mapeo 1-1 entre estos dos conjuntos?

No.

Considere la siguiente función:
[matemáticas] d (x, y) = \ frac {\ | x – y \ |} {1+ \ | x – y \ |} [/ matemáticas]
Ejercicio: demuestre que d (x, y) como se definió anteriormente es una métrica.
Ejercicio: demuestre que d (x, 0) no es una norma. Sugerencia: d (x, 0) falla la condición de homogeneidad.

Por otro lado, todas las normas inducen una métrica (como ya has supuesto). Todas las métricas inducidas por las normas tienen dos propiedades adicionales, aparte de las propiedades métricas habituales:
1] Homogeneidad: [matemática] d (ax, ay) = | a | d (x, y) [/ matemática]
2] Invarianza de traducción: [matemáticas] d (x + z, y + z) = d (x, y) [/ matemáticas]

Answer 2

No olvide que la distancia es una función de 2 variables, mientras que la norma es una función de 1 variable. Toda norma implica una distancia d (x, y) = || xy ||, pero no todas las funciones de distancia pueden derivarse de una norma.

Por ejemplo, considere la distancia discreta: d (x, y) = 1 siempre que [math] x \ ne y [/ math]. No existe una norma que otorgue esta función de distancia en [math] \ mathbb {R} ^ n [/ math].