Podría definir un concepto de división para que u / v = | u | / | v | si u y v son paralelas. Es posible que desee refinar esto ligeramente para tener en cuenta que u y v son paralelas pero en direcciones opuestas. Podrías usar el producto punto para este u . v / (| u | | v | ) = 1 si están en la misma dirección y -1 si están en direcciones opuestas. entonces u / v = u . v / (| u | | v | ) | u | / | v | = u . v / | v | ^ 2.
El resultado de este escalador es básicamente encontrar la relación de los dos vectores que dice cuántas veces un vector es múltiplo del otro.
Hasta ahora hemos restringido esto a u, v es paralelo, pero la fórmula u / v = u . v / | v | ^ 2 no necesita limitarse solo a este caso. No estoy realmente seguro de cuál es el significado de esto.
Tenga en cuenta que esto es consistente con la parte real de la división de números complejos. Si u = a + ib y v = c + id, entonces
[matemáticas]
\ begin {align}
& \ Re \ left ((a + ib) / (c + id) \ right) \\
& \ qquad = \ Re \ left (\ frac {a + ib} {c + id} \ frac {c-id} {c-id} \ right) \\
& \ qquad = \ Re \ left (\ frac {ac + bd + i (bc-ad)} {c ^ 2 + d ^ 2} \ right) \\
& \ qquad = \ frac {ac + bd} {c ^ 2 + d ^ 2} \\
& \ qquad = \ frac {\ mathbf {u} \ cdot \ mathbf {v}} {| \ mathbf {v} | ^ 2}
\ end {alinear}
[/matemáticas]
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Lo anterior da una noción de una división con resultado de escala. No es realmente una buena definición de división. La cuestión de si podemos definir la división como se discutió en varios lugares
- ¿Qué es la división vectorial? (intercambio de pila matemática)
- ¿Podemos dividir dos vectores? (intercambio de pila de física, una respuesta allí es similar a la anterior)
El problema básico al tratar de definir la división es que no existe una definición única de multiplicación de vectores. Hay dos nociones de multiplicación del producto punto u . v que da un escalador. La otra noción es el producto cruzado [math] \ mathbf {u} \ times \ mathbf {v} [/ math] que solo se define en 3D. No puede usar esto para definir la división, ya que hay múltiples pares de vectores con el mismo producto cruzado.
Son posibles otras nociones de multiplicación que corresponden a los números complejos (2D), cuaterniones (4D) y octonios (8D), todo esto tiene una división bien definida. Estos se denominan álgebras de división y hay un teorema que dice que son los únicos espacios posibles donde la división se puede definir muy bien.