Gracias por A2A.
Bueno, en esta situación muy especial, puede simplificar los cálculos utilizando el hecho de que la matriz está en la siguiente forma de bloque:
[matemáticas] \ left (\ begin {array} {c | c} B & 0_ {2 \ times 2} \\
\ hline
DISCOS COMPACTOS
\ end {array} \ right) [/ math]
Entonces el inverso (si existe) también está en forma de bloque
- ¿Cuál es la diferencia entre optimización lineal y no lineal?
- ¿Por qué hay matrices con un valor propio repetido?
- ¿Cómo puede la descomposición ortogonal garantizar que esta función sea mínima?
- Cómo encontrar los valores para los cuales una matriz es inconsistente
- Dada una matriz singular (cuadrada) [matemática] A [/ matemática], que no es nula, ¿cómo podría encontrarse una matriz cuadrada [matemática] B [/ matemática], que nuevamente no es nula, de modo que el producto matricial [matemática ] AB [/ math] da la matriz nula?
[matemáticas] \ left (\ begin {array} {c | c} B_1 & 0_ {2 \ times 2} \\
\ hline
C_1 y D_1
\ end {array} \ right) [/ math]
Aquí [matemáticas] B, C, D [/ matemáticas] y [matemáticas] B_1, C_1, D_1 [/ matemáticas] son 2 × 2 submatrices.
La multiplicación de dos rendimientos de este bloque de matrices
[matemáticas] \ left (\ begin {array} {c | c} BB_1 y 0_ {2 \ times 2} \\
\ hline
CB_1 + DC_1 y DD_1
\ end {array} \ right) [/ math]
Por lo tanto, [math] BB_1 = I_2 [/ math], [math] DD_1 = I_2 [/ math] y
[matemáticas] CB_1 + DC_1 = 0_ {2 \ veces 2} [/ matemáticas].
Como [math] B = I_2 [/ math] sigue que [math] B_1 = I_2 [/ math].
Tenemos:
[matemáticas] D = \ begin {pmatrix}
L ^ 2 y L ^ 3 \\
2L y 3L ^ 2
\ end {pmatrix}
[/matemáticas]
[matemáticas] \ det D = L ^ 4 [/ matemáticas].
Tenga en cuenta que [math] L \ neq 0 [/ math], de lo contrario no existe el inverso.
Por lo tanto [matemáticas] D_1 = D ^ {- 1} = \ begin {pmatrix}
3 L ^ {- 2} & -L ^ {- 1} \\
-2L ^ {- 3} y L ^ {- 2}
\ end {pmatrix}
[/matemáticas]
Tenga en cuenta que el cálculo de la inversa de una matriz [matemática] 2 \ por 2 [/ matemática] es muy fácil, la parte “más difícil” es el cálculo de [matemática] [/ matemática] de la matriz original, que equivale a dos multiplicaciones 2 y uno menos El resto es intercambiar dos entradas en la diagonal principal y agregar el signo menos a dos entradas en la diagonal menor.
Ahora encontrará [matemáticas] C_1 = -D ^ {- 1} CB_1 = -D_1 C = [/ matemáticas] [matemáticas] – \ begin {pmatrix}
3 L ^ {- 2} & -L ^ {- 1} \\
-2L ^ {- 3} y L ^ {- 2}
\ end {pmatrix} \ cdot
\ begin {pmatrix}
1 y L \\
0 y 1 \\
\ end {pmatrix} = [/ matemáticas] [matemáticas]
\ begin {pmatrix}
-3 L ^ {- 2} y -2L ^ {- 1} \\
2L ^ {- 3} y L ^ {- 2}
\ end {pmatrix}
[/matemáticas]
Esta es la parte más complicada del cálculo: para multiplicar dos matrices [matemáticas] 2 \ por 2 [/ matemáticas], ¡necesitas 8 multiplicaciones y 4 sumas!
Ahora ensamble todos los bloques y escriba el inverso ( Importante : [math] L \ neq 0 [/ math]!)
[matemáticas]
A ^ {- 1} = \ begin {pmatrix}
1 y 0 y 0 y 0 \\
0 y 1 y 0 y 0 \\
-3 L ^ {- 2} y -2L ^ {- 1} y 3 L ^ {- 2} y -L ^ {- 1} \\
2L ^ {- 3} y L ^ {- 2} y -2L ^ {- 3} y L ^ {- 2}
\ end {pmatrix}
[/matemáticas]
Para lograr un equilibrio, necesitamos 10 multiplicaciones y 5 adiciones para hacer el trabajo (no he contado los operadores unarios menos). Ahora puede compararlo con la solución de algoritmo gaussiano de frente para ver la diferencia. Cada paso del algoritmo gaussiano requiere 4 multiplicaciones y 4 adiciones.