¿Qué significa un cambio de base en álgebra lineal?

Answer 1

Básicamente, como cambiar las coordenadas del sistema de un vector de rectangular (cartesiana) a circular cilíndrica, elíptica cilíndrica, cónica, esférica, elipsoidal, entre otras, dependiendo de la forma de su problema, como por ejemplo integrar una función que es más fácil de integrar coordenadas polares que en cartesiano, es transformar un espacio vectorial dado de una “manera más general”, por así decirlo. Lo que acabo de decir no está muy bien definido, pero nos ayuda a comenzar.

Si tiene el espacio vectorial R², por ejemplo, y escribe los vectores como coordenadas, por ejemplo (5, 6):

Podemos descomponerlo en términos de sus coordenadas x e y:
(5, 6) = 5. (1, 0) + 6. (0, 1).
El par de vectores {(1,0), (0,1)} abarca R² porque cualquier vector que tome en todo el espacio vectorial R² puede expresarse de esa manera. Ahora piense en los vectores unitarios y en cómo es mucho más fácil trabajar con ellos al abordar álgebra vectorial, sistemas de coordenadas y cálculo vectorial.

Ahora, divergiendo un poco de su pregunta, ¿por qué usamos vectores unitarios? No simplemente porque son más fáciles, la mayoría de las veces, en realidad, sino porque se acerca al problema, actualmente estamos desarrollando una solución, específicamente más fácil. Lo que quiero decir con lo que acabo de señalar es que si tiene un camino de integración que tiene una geometría esférica, por ejemplo, nos facilita la TRANSFORMACIÓN de nuestros conocidos vectores unitarios rectangulares a vectores unitarios esféricos, y trabajar nuestro camino a través de ellos.

Llegando al punto que quería, se realiza un cambio de base porque tiene referencias diferentes; su referencia no siempre serán las coordenadas cartesianas, la línea x, la línea y, el plano xy, el plano yz o el plano xz … ¡Pueden ser otros espacios vectoriales! Entonces, para el caso, si tiene, por ejemplo, una base en R³ que le brinde un espacio vectorial aleatorio A: cualquiera que desee, no importa, puede ser tan aleatorio como desee, solo con fines educativos – y un vector aleatorio B que desea transformarlo en coordenadas A, tendrá el vector B representado considerando el espacio vectorial A – es decir, ¡habrá escrito el vector B con respecto a A como referencia!

El siguiente enlace le mostrará un buen ejemplo de cambio de base y cómo encontrar un vector en las coordenadas de la nueva base: http://math.stackexchange.com/qu…

Nota: si tiene más interés en las aplicaciones de álgebra lineal y cambio de base, puede buscar los temas de teoría de conjuntos, topología y, más aplicable, dinámica de fluidos.

Answer 2

Una base es un conjunto máximo de vectores linealmente independientes en un subespacio lineal. En general, hay una infinidad de bases en un subespacio vectorial. Suponga que tiene un vector [math] \ vec {v} [/ math] en [math] \ mathbb {R} ^ n [/ math]. Considere la base [math] \ mathbb {B} = \ {\ vec {e_1}, \ vec {e_2}, \ cdots, \ vec {e_n} \} [/ math]. Entonces podemos expresar [math] \ vec {v} [/ math] como una combinación lineal de los vectores en [math] \ mathbb {B} [/ math] como:

[matemáticas] \ vec {v} = \ begin {pmatrix} v_1 && v_2 && \ cdots && v_n \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} \ vec {e_1} \\ \ vec {e_2} \\ \ vdots \\ \ vec {e_n} \ end {pmatrix} = VB ^ T, [/ math]

donde [matemáticas] B = \ begin {pmatrix} \ vec {e_1} && \ vec {e_2} && \ cdots && \ vec {e_n} \ end {pmatrix} [/ math].

Que haya otra base [math] \ mathbb {B} ‘= \ {\ vec {e’_1}, \ vec {e’_2}, \ cdots, \ vec {e’_n} \} [/ math]. Entonces, cada vector en [math] \ mathbb {B} ‘[/ math] se puede expresar como una combinación lineal de vectores en [math] \ mathbb {B} [/ math] (y viceversa). Por lo tanto, se nos permite escribir:

[matemáticas] B ^ T = AB ‘^ T, [/ matemáticas]

donde [math] A [/ math] es una matriz [math] n \ times n [/ math] llamada matriz de cambio de base de [math] \ mathbb {B} ‘[/ math] a [math] \ mathbb { B} [/ matemáticas]. La matriz [math] A [/ math] debe ser no singular, ya que de lo contrario [math] \ mathbb {B} ‘[/ math] tendrá una dependencia lineal entre sus vectores.

Tenga en cuenta que esto significa que el cambio de matriz base de [matemática] B ^ T [/ matemática] a [matemática] B ‘^ T [/ matemática] es [matemática] A ^ {- 1} [/ matemática]. Usando esto, podemos decir que

[matemáticas] \ vec {v} = (VA) B ‘^ T = V’B’ ^ T [/ matemáticas],

donde [matemáticas] V ‘= VA [/ matemáticas].

Así es como cambiamos entre bases [math] \ mathbb {B} [/ math] y [math] \ mathbb {B} ‘[/ math].

Intentamos correlacionar esto con nuestra comprensión geométrica de los vectores en este ejemplo. Considere la base [math] \ mathbb {B} [/ math] que consiste en [math] \ {\ mathbf {i}, \ mathbf {j} \} [/ math] en [math] \ mathbb {R} ^ 2 [/matemáticas]. Cambiamos las bases a [math] \ mathbb {B} ‘= \ {\ mathbf {e_1}, \ mathbf {e_2} \} [/ math] de modo que:

[matemáticas] \ displaystyle \ mathbf {e_1} = \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ mathbf {i} + \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ mathbf {j} [/ math] y [math] \ displaystyle \ mathbf {e_2} = – \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ mathbf {i} + \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ mathbf {j} [/ matemáticas].

Por geometría, sabes que esto corresponde a una rotación de los ejes de coordenadas por [matemática] 45 ^ o [/ matemática]. Intentemos expresar el vector [math] \ vec {v} = 3 \ mathbf {j} [/ math] en base [math] B ‘[/ math]. Tenemos

[matemáticas] B ‘^ T = \ begin {pmatrix} \ frac {1} {\ sqrt {2}} && \ frac {1} {\ sqrt {2}} \\ – \ frac {1} {\ sqrt { 2}} && \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ end {pmatrix} B ^ T = AB ^ T [/ math]

[matemáticas] \ implica B ^ T = A ^ {- 1} B ‘^ T [/ matemáticas]

Calculamos [matemáticas] A ^ {- 1} = \ begin {pmatrix} \ frac {1} {\ sqrt {2}} && – \ frac {1} {\ sqrt {2}} \\ \ frac {1} {\ sqrt {2}} && \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ end {pmatrix} [/ math]

Entonces,

[matemáticas] \ vec {v} = \ begin {pmatrix} 0 && 3 \ end {pmatrix} B ^ T = \ begin {pmatrix} 0 && 3 \ end {pmatrix} A ^ {- 1} B ‘^ T = \ begin {pmatrix} \ frac {3} {\ sqrt {2}} && \ frac {3} {\ sqrt {2}} \ end {pmatrix} B ‘^ T [/ math]

Esto nos da [matemáticas] \ displaystyle \ vec {v} = \ frac {3} {\ sqrt {2}} \ mathbf {e_1} + \ frac {3} {\ sqrt {2}} \ mathbf {e_2} [ / math], que concuerda muy bien con nuestras nociones geométricas, como se puede ver en el siguiente diagrama:

Answer 3

En términos generales, definimos una base de un espacio vectorial V como un subconjunto linealmente independiente de V que también abarca V – llámelo [math] b_ {1} [/ math]. En otras palabras, cada elemento de V puede representarse como una combinación lineal de los elementos básicos (que son en sí mismos elementos de V). Sin embargo, fuera de casos especiales, los espacios vectoriales tendrán más de una base. Lo que esto significa es que hay un subconjunto diferente de V, llámelo [math] b_ {2} [/ math] que tiene las mismas propiedades que [math] b_ {1} [/ math]. En particular, es linealmente independiente y abarca todos los V.

El “cambio de base” simplemente se refiere a la función que convierte un elemento de V representado por una combinación lineal de [math] b_ {1} [/ math] en una representación equivalente como una combinación lineal de [math] b_ {2 }[/matemáticas]

Tomemos un ejemplo del espacio vectorial [math] \ mathbb {R} ^ {2} [/ math]. La base “natural” para este espacio es {[math] \ begin {pmatrix} 1 \\ 0 \ end {pmatrix} [/ math], [math] \ begin {pmatrix} 0 \\ 1 \ end {pmatrix} [ / math]} = {[math] e_ {1}, e_ {2} [/ math]} = [math] b_ {1} [/ math].

El elemento (1,2) se puede representar como (1,2) = [matemáticas] 1 * e_ {1} + 2 * e_ {2} [/ matemáticas].

Otra base para este espacio es {[math] \ begin {pmatrix} 1 \\ 1 \ end {pmatrix} [/ math], [math] \ begin {pmatrix} -1 \\ 0 \ end {pmatrix} [/ math ]} = {[matemáticas] v_ {1}, v_ {2} [/ matemáticas]} = [matemáticas] b_ {2} [/ matemáticas]

El elemento (1,2) se expresa como [matemáticas] 2 * v_ {1} + 1 * v_ {2} [/ matemáticas].

Entonces, usando la notación vectorial, bajo la base [math] b_ {1} [/ math] el elemento es (1,2) y bajo la base [math] b_ {2} [/ math] el elemento se representa como (2,1 ) Representaciones diferentes, pero sigue siendo el mismo elemento de nuestro espacio vectorial V.

Además, podemos definir la transformación entre estas dos bases a través de una matriz. L = [matemáticas] \ begin {pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 0 \ end {pmatrix} [/ math].

Podemos verificar esto realizando la siguiente multiplicación de matriz simple: [matemática] \ begin {pmatrix} 1 \\ 2 \ end {pmatrix} = L \ cdot \ begin {pmatrix} 2 \\ 1 \ end {pmatrix} [/ math ]

Esta matriz transforma un vector bajo [math] b_ {2} [/ math] en un vector bajo la base natural definida anteriormente.

Desde un punto de vista práctico (en nuestro ejemplo anterior), esta transformación nos da una “fórmula” única para estirar o rotar un “gráfico” que se puede representar como una colección de vectores en el plano RxR.

Una breve búsqueda en Google puede cubrir este tema bastante a fondo. Aquí hay una referencia del intercambio de pila que cubre básicamente el mismo tratamiento que he resumido aquí ¿Por qué se llama así a la ‘matriz de cambio de base’?

Answer 4

Cuando escribe un vector como [math] v = [/ math] [math] (a_1, \ dots, a_n), [/ math] se refiere implícitamente a una base específica [math] \ {v_1, \ dots, v_n \} [/ math] de [math] V, [/ math] donde [math] v = \ sum_i a_iv_i. [/ math] Ahora, si cambia la base de [math] \ {v_1, \ dots, v_n \} [/ math] a [math] \ {w_1, \ dots, w_n \}, [/ math], entonces las coordenadas de [math] v [/ math] también cambiaría, digamos [math] v = \ sum_i b_iw_i, [/ math] haciendo [math] v = (b_1, \ dots, b_n) [/ math] con respecto al nueva base

Para un mapa lineal [math] T: V \ rightarrow V, [/ math] cualquier representación matricial de [math] T [/ math] depende de la elección de la base de [math] V, [/ math] para cambiar el base realmente cambiará la matriz que representa [matemáticas] T. [/ math] De hecho, si [math] T [/ math] tiene una matriz [math] M [/ math] con respecto a una base fija, y si cambia a una nueva base, entonces la nueva matriz representa [math] T [/ math] viene dado por [math] CMC ^ {- 1} [/ math] para una matriz invertible [math] C [/ math] que depende de las dos bases. Esta matriz [matemática] C [/ matemática] se llama matriz de cambio de base, porque le dice cómo cambiar de una base a otra cambia la matriz que representa [matemática] T. [/matemáticas]

Answer 5

Un cambio de base está cambiando los puntos de referencia. El próximo fin de semana aquí en el Reino Unido cambiamos los relojes al horario de verano británico (horario de verano). Esto es solo un cambio de base.